تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Calcul intégral

Exercice 8

  1. Montrer que la fonction H:x↦12(ln⁡(x))2H:x\mapsto \frac12 \left(\ln(x)\right)^2 est une fonction primitive de la fonction h:x↦ln⁡(x)xh:x\mapsto \frac{\ln(x)}{x}\quad sur ]0;+∞[]0;+\infty[
  2. En déduire que : ∫1eln⁡(x)xdx=12\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{\ln(x)}{x}dx=\frac12
  3. En utilisant une intégration par parties, Mq : ∫1eln⁡(x)dx=1\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)dx=1

1/

Rappel : ff fonction définir sur un intervalle II ;

On dit que la fonction FF est une fonction primitive de la fonction ff sur l’intervalle II si :

  • FF est dérivable sur II
  • (∀x∈I)  ;  F′(x)=f(x)(\forall x\in I) ~~;~~ F'(x)=f(x)
(un)′=nu′.un−1(u^n)'=nu'.u^{n-1}
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)

ici on a :

  • HH es dérivable sur ]0;+∞[]0;+\infty[ par produit;
  • Pour tout x∈]0;+∞[x\in]0;+\infty[ on a :
H′(x)=12×2(ln⁡′x)×(ln⁡x)2−1=ln⁡xx=h(x)\begin{align*} H'(x)&=\dfrac12\times2(\ln'x)\times\left(\ln x\right)^{2-1}\\&=\dfrac{\ln x}x=h(x) \end{align*}

donc HH est une primitive de hh sur ]0;+∞[]0;+\infty[

2/

∫1eln⁡(x)xdx=∫1eh(x)dx=H(e)−H(1)=1\begin{align*} \int_{1}^{e}\frac{\ln(x)}{x}dx &=\int_{1}^{e}h(x)dx\\ &=H(e)-H(1)\\&=1 \end{align*}

3/ ∫1eln⁡(x) dx\quad \int_1^e \ln(x) \, dx ?

La formule de l’intégration par parties :

∫abu(x)v′(x)dx=[uv(x)]ab−∫abu′(x)dx\int_a^b u(x)v'(x) dx = [uv(x)]_a^b - \int_a^b u'(x) dx

On choisit :

  • u(x)=ln⁡(x)u(x) = \ln(x), donc u′(x)=1x dxu'(x) = \frac{1}{x} \, dx,
  • v′(x)=1v'(x) =1, donc v(x)=xv(x) = x.

Appliquons la formule d’intégration par parties :

∫1eln⁡(x) dx=[xln⁡(x)]1e−∫1ex⋅1x dx.=eln⁡e−0−[x]1e=e−(e−1)=1\begin{align*} \int_1^e \ln(x) \, dx &= \left[ x \ln(x) \right]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} \, dx.\\ &=e\ln e -0-\left[ x \right]_1^e \\ &=e-(e-1)=1 \end{align*}