Calcul intégral

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

Calculer les intégrales suivantes : $\displaystyle\int_{0}^{3}|x-2|dx~$ ;; $~\displaystyle\int_{-1}^{2}|x(x-1)|dx$
On pose : $I=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac\pi4}cos^2(x)dx$ et $J=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac\pi4}sin^2(x)dx$

a) Calculer $I+J$ et $I-J$

b) En déduire $I$ et $J$

Correction

$\bullet \quad$ Calcul de $\displaystyle\int_{0}^{3}|x-2|dx$ on a :

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & & 2 & & 3 \\ \hline x - 2 & & - & 0 & + &\\ \hline \end{array}

\begin{align*} \int_{0}^{3}|x-2|\,dx&= \int_{0}^{2}|x-2|\,dx + \int_{2}^{3}|x-2|\,dx \\ &= -\int_{0}^{2}(x-2)\,dx + \int_{2}^{3}(x-2)\,dx \end{align*}

on a :

Donc : $\boxed{\displaystyle\int_{0}^{3}|x-2|\,dx=\dfrac52}$

$\bullet \quad$ Calcul de $\displaystyle\int_{-1}^{2}|x(x-1)|\,dx$ :

On a $x(x-1) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 1$ .

\begin{array}{c|ccccccc} x & -1 & & 0 & & 1 & & 2 \\ \hline x(x-1) & & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}

Donc :

\begin{align*} \int_{-1}^{2}|x(x-1)|\,dx &= \begin{cases} +\displaystyle\int_{-1}^{0}x(x-1)\,dx \\~\\ \displaystyle- \int_{0}^{1}x(x-1)\,dx \\~\\ \displaystyle+ \int_{1}^{2}x(x-1)\,dx \end{cases} \end{align*}

\begin{align*} \int_{-1}^{2}|x(x-1)|\,dx &=\int_{-1}^{0}x(x-1)\,dx - \int_{0}^{1}x(x-1)\,dx + \int_{1}^{2}x(x-1)\,dx \end{align*}

puisque : $x(x-1)=x^2-x$ alors :

$\bullet\displaystyle\int_{-1}^{0}x(x-1)\,dx=\left[\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^2}2\right]_{-1}^0=\dfrac56$

$\bullet\displaystyle\int_{0}^{1}x(x-1)\,dx=\left[\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^2}2\right]_{0}^1=-\dfrac16$

$\bullet\displaystyle\int_{1}^{2}x(x-1)\,dx=\left[\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^2}2\right]_{1}^2=\dfrac56$

Donc :

\int_{-1}^{2}|x(x-1)|\,dx =\dfrac56+\dfrac16+\dfrac56

et donc :

\boxed{\int_{-1}^{2}|x(x-1)|\,dx=\dfrac{11}6}

a/ $\quad$ Calcul de $I + J$ et $I - J$ :

\begin{align*} I + J &= \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} (\cos^2(x) + \sin^2(x)) \, dx \\ &= \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} 1 \, dx = \left[ x \right]_0^{\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\pi}{4} \end{align*}

\begin{align*} I - J &= \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} (\cos^2(x) - \sin^2(x)) \, dx \\ &= \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx = \left[ \dfrac{\sin(2x)}{2} \right]_0^{\dfrac{\pi}{4}} \\ &= \dfrac{1}{2} - 0 = \dfrac{1}{2} \end{align*}

b/ $\quad$ Détermination de $I$ et $J$ :

\begin{cases} I + J = \dfrac{\pi}{4} \\ I - J = \dfrac{1}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} I = \dfrac{\pi + 2}{8} \\ J = \dfrac{\pi - 2}{8} \end{cases}

Ainsi, les valeurs sont :

I = \dfrac{\pi + 2}{8}, \quad J = \dfrac{\pi - 2}{8}