تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Calcul intégral

Exercice 14

Soit ff et gg deux fonctions définies sur ]0;+∞[]0;+\infty[ par : f(x)=ln(x)  et  g(x)=ln2(x)f(x)=ln(x) ~~ et ~~g(x)=ln^2(x) dont les courbes (Cf)(C_f) et (Cg)(C_g) respectivement construites ci-dessous, et (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}) est un repère orthonormé tel que : ∥i⃗∥=∥j⃗∥=2cm\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=2cm

xO⃗j⃗idvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 3e1(Cg)(Cf)

on pose :

I=∫1eln(x)dx  et  J=∫1eln2(x)dxI=\int_{1}^{e}ln(x)dx ~~ et ~~ J=\int_{1}^{e}ln^2(x)dx

  1. a) Vérifie que la fonction H:x↦xln(x)−xH:x\mapsto xln(x)-x est une primitive de la fonction ff sur ]0;+∞[]0;+\infty[

    b) En déduire que I=1I=1

  2. a) En utilisant une intégration par parties, montrer que : J=e−2IJ=e-2I

    b) En déduire la valeur de JJ

  3. Calculer l’aire du domaine hachuré du plan, en cm2cm^2

f(x)=ln⁡(x)etg(x)=ln⁡2(x)f(x) = \ln(x) \quad \text{et} \quad g(x) = \ln^2(x)

On pose :

I=∫1eln⁡(x) dxetJ=∫1eln⁡2(x) dxI = \int_1^e \ln(x) \, dx \quad \text{et} \quad J = \int_1^e \ln^2(x) \, dx

1/a/ H:x↦x=xln⁡(x)−xH:x\mapsto x = x \ln(x) - x est une primitive de ff sur ]0;+∞[]0; +\infty[

  • HH est dérivable sur ]0;+∞[]0; +\infty[ par produit;
H′(x)=x′ln⁡x+x(ln⁡x)′−1=ln⁡x+x×1x−1=ln⁡x=f(x)\begin{align*} H'(x)&=x'\ln x +x(\ln x)'-1\\ &=\ln x+x\times\frac1x-1\\ &=\ln x=f(x) \end{align*}

Donc HH est bien une primitive de ff sur ]0;+∞[]0; +\infty[.

b/ I=1I = 1 ?

∫1eln⁡(x) dx=∫1ef(x) dx=H(e)−H(1)=eln⁡(e)−e−1ln⁡1+1=1\begin{align*} \int_1^e \ln(x) \, dx &= \int_1^e f(x) \, dx \\ &=H(e)-H(1)\\ &=e\ln(e)-e-1\ln1+1\\ &=1 \end{align*}

2/a/ intégration par parties : J=e−2IJ = e - 2I

J=∫1eln2(x)dxJ=\int_{1}^{e}ln^2(x)dx

Posons :

  • u(x)=ln⁡(x)u(x) = \ln(x) et v′(x)=ln⁡(x)v'(x) = \ln(x)
  • Donc : u′(x)=1xu'(x) = \dfrac{1}{x} et v(x)=xln⁡(x)−xv(x) = x \ln(x) - x

Pour appliquer l’intégration par parties, utilisons la formule :

∫uv′=uv−∫u′v\int u v' = u v - \int u' v
J=[ln⁡x(xln⁡x−x)]1e−∫1e1x(xln⁡x−x) dx=1(e−e)−∫1eln⁡x−1dx=∫1e1dx−∫1eln⁡xdx=e−1−I=e−2I\begin{align*} J&=[\ln x(x\ln x -x)]_1^e-\int_1^e\dfrac{1}{x}(x\ln x -x)\ dx\\ &=1(e-e)-\int_1^e \ln x - 1 dx\\ &=\int_1^e 1 dx - \int_1^e \ln x dx \\ &=e-1-I\\ &=e-2I \end{align*}

b/ La valeur de JJ

On a déjà montré que I=1I = 1. Donc, en utilisant J=e−2IJ = e - 2I :

J=e−2×1=e−2J = e - 2 \times 1 = e - 2

3/

L’aire du domaine hachuré est est donnée par

A=∫1e∣f(x)−g(x)∣dx uniteˊ\mathcal{A}=\int_1^e|f(x)-g(x)|dx\ \text{unité}
  • uniteˊ=∥i⃗∥×∥j⃗∥=4cm2\text{unité}=\|\vec{i}\|\times\|\vec{j}\|=4cm^2
  • et puisque la courbe (Cf)(C_f) est située au dessus de la courbe (Cg)(C_g) sur l’intervalle [1,e][1,e] alors ∣f(x)−g(x)∣=f(x)−g(x)|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)
A=4∫1ef(x)−g(x)dx cm2\mathcal{A}=4\int_1^e f(x)-g(x)dx \ \text{cm}^2

et on a :

∫1ef(x)−g(x)dx=I−J=1−(e−2)=3−e\int_1^e f(x)-g(x)dx=I-J=1-(e-2)=3-e

Alors

A=4(3−e)cm2\mathcal{A}=4(3-e)\text{cm}^2