تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Calcul intégral

Exercice 13

On considère la fonction numérique de la variable réelle xx définie par : f(x)=x2−2xex+2exf(x)=x^2-2xe^x+2e^x ; ∀x∈R\forall x\in\R

et (C)(C) sa courbe dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}) tel que : ∥i⃗∥=∥j⃗=1cm∥\|\vec{i}\|=\|\vec{j}=1cm\|

xyO⃗i⃗jdvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 3
  1. En utilisant une intégration par parties, montrer que : ∫01xexdx=1\displaystyle\int_{0}^{1}xe^xdx=1
  2. Calculer l’aire du domaine hachuré du plan
f(x)=x2−2xex+2expour tout x∈Rf(x) = x^2 - 2x e^x + 2e^x \quad \text{pour tout } x \in \R

1/

On cherche à calculer :

∫01xex dx\int_0^1 x e^x \, dx

Posons :

  • u(x)=x⇒u′(x)=1u(x) = x \Rightarrow u'(x) = 1
  • v′(x)=ex⇒v(x)=exv'(x) = e^x \Rightarrow v(x) = e^x

D’après la formule d’intégration par parties :

∫uv′=uv−∫u′v\int u v' = u v - \int u' v

On obtient :

∫01xex dx=[xex]01−∫01ex dx=(1⋅e1−0)−(e1−1)=e−(e−1)=1\begin{align*} \int_0^1 x e^x \, dx &= \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx \\ &= (1 \cdot e^1 - 0) - (e^1 - 1) \\ &= e - (e - 1) \\ &= \boxed{1} \end{align*}

2/ Calcul de A\mathcal{A} l’aire du domaine délimité entre la courbe (C)(C) et l’axe des abscisses sur l’intervalle [0,1][0,1]

on sait que : A=∫01∣f(x)∣ dx uniteˊ\displaystyle\mathcal{A}=\int_0^1 |f(x)| \, dx~\text{unité}

et

  • uniteˊ=∥i⃗∥.∥j⃗∥=1cm2unité=\|\vec{i}\|.\|\vec{j}\|=1\text{cm}^2
  • ∣f(x)∣=f(x)|f(x)|=f(x) sur [0,1][0,1] car la courbe (C)(C) est située au dessus de l’axe des abscisses sur [0,1][0,1]

On a :

∫01f(x) dx=∫01(x2−2xex+2ex)dx\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 \left(x^2 - 2x e^x + 2 e^x\right) dx

On a :

  • ∫01x2dx=[x33]01=13\displaystyle \int_0^1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}
  • ∫01xexdx=1\displaystyle \int_0^1 x e^x dx = 1 (voir question 1)
  • ∫01exdx=[ex]01=e−1\displaystyle \int_0^1 e^x dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e - 1

Donc :

∫01f(x) dx=13−2⋅1+2(e−1)=13−2+2e−2=2e−113\begin{align*} \int_0^1 f(x) \, dx &= \frac{1}{3} - 2 \cdot 1 + 2(e - 1) \\ &= \frac{1}{3} - 2 + 2e - 2 \\ &= 2e - \frac{11}{3} \end{align*}

Aire du domaine hachuré

A=(2e−113)cm2\boxed{ \mathcal{A} = \left(2e - \frac{11}{3}\right)\text{cm}^2 }