تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Calcul intégral

Exercice 12

On considère la suite numérique (un)n∈N∗(u_n)_{n\in\N^*} définie par : un=∫01tn1+tdt  ;  ∀n∈N∗\displaystyle u_n=\int_{0}^{1}\dfrac{t^n}{1+t}dt ~~ ;~~ \forall n\in\N^*

  1. Montrer que : (∀n∈N∗\forall n\in\N^*) ; (∀t∈[0;1]\forall t\in[0;1]) ; 12tn≤tn1+t≤tn\dfrac12 t^n \le \dfrac{t^n}{1+t}\le t^n
  2. En déduire que : (∀n∈N∗\forall n\in\N^*) ; 12(n+1)≤un≤1n+1\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}\le u_n \le \frac{1}{n+1}, puis calculer lim⁡n→+∞un\lim\limits_{n\to+\infty} u_n

On considère la suite numérique (un)n∈N∗(u_n)_{n\in\N^*} définie par :

un=∫01tn1+t dt;∀n∈N∗u_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1 + t} \, dt \quad ; \quad \forall n \in \N^*

1/

On remarque que sur l’intervalle [0;1][0;1], on a pour tout tt :

  • 1+t∈[1,2]1 + t \in [1,2] donc : 11+t∈[12,1]\dfrac{1}{1 + t} \in [\frac{1}{2}, 1]

Ainsi, pour tout t∈[0,1]t \in [0,1] :

12≤11+t≤1\frac{1}{2} \le \frac{1}{1+t} \le 1

En multipliant membre à membre par tn≥0t^n \ge 0, on obtient :

12tn≤tn1+t≤tn\frac{1}{2} t^n \le \frac{t^n}{1+t} \le t^n

Donc :

∀n∈N∗, ∀t∈[0,1],12tn≤tn1+t≤tn\boxed{\forall n \in \N^*, \ \forall t \in [0,1], \quad \frac{1}{2} t^n \le \frac{t^n}{1 + t} \le t^n}

2/ Encadrement de unu_n et limite

On intègre l’inégalité membre à membre sur [0;1][0;1] :

∫0112tn dt≤un≤∫01tn dt\int_0^1 \frac{1}{2} t^n \, dt \le u_n \le \int_0^1 t^n \, dt

Or :

  • ∫01tn dt=1n+1\displaystyle \int_0^1 t^n \, dt = \frac{1}{n+1}
  • ∫0112tn dt=12⋅1n+1=12(n+1)\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{2} t^n \, dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{1}{2(n+1)}

Donc :

12(n+1)≤un≤1n+1\boxed{ \frac{1}{2(n+1)} \le u_n \le \frac{1}{n+1} }

Et comme lim⁡n→+∞1n+1=0\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0, on peut conclure par le théorème d’encadrement :

lim⁡n→+∞un=0\boxed{ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 }