Calcul intégral

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

Montrer que la fonction $H:x\mapsto x-ln(1+e^x)$ est une fonction primitive de la fonction $h:x\mapsto \dfrac{1}{1+e^x} ~~sur ~~ \R$
En déduire que : $\displaystyle\int_{0}^{ln(2)}\dfrac{1}{1+e^x}dx=ln(4)-ln(3)$

Correction

on a $1+e^x>0$ pour tout $x\in\R$ donc on a $H$ est dérivable sur $\R$ par somme et composée.

et on a :

\begin{align*} H'(x)&=1-\dfrac{(1+e^x)'}{1+e^x}\\ &=\dfrac{1+e^x-e^x}{1+e^x}\\ &=\dfrac{1}{1+e^x}=h(x) \end{align*}

Donc $H$ est une fonction primitive de $h$ sur $\R$

\begin{align*} \int_{0}^{ln(2)}\dfrac{1}{1+e^x}dx &=\int_{0}^{ln(2)}h(x)dx\\ &=\left[H(x)\right]_0^{\ln 2}\\ &=H(\ln 2)-H(0)\\ &=\ln 2 - \ln(1+2)-(0-\ln(2))\\ &=2\ln2-\ln3=\ln(2^2)-\ln3\\\ &=\ln4-\ln3 \end{align*}