تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Calcul intégral

Exercice 5

  1. Soit ff la fonction définie par : f(x)=−x2+2xf(x)=-x^2+2x

    (Cf)(C_f) sa courbe dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}) avec (∥i⃗∥=2cm\|\vec{i}\|=2cm et ∥j⃗∥=2cm\|\vec{j}\|=2cm)

    (Cf)3O⃗i⃗j2

    Calculer l’aire u domaine situé entre la courbe (Cf)(C_f), l’axe des abscisses et les droites d’équations : x=0x = 0 et x=3x = 3

  2. ff et gg deux fonctions telles que : f(x)=cos(x)f(x)=cos(x) et g(x)=sin(x)g(x)=sin(x)

    (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}) repère orthonormé (∥i⃗∥=∥j⃗∥=1cm\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1cm)

    xycosxsinx0π2π−π+1−1−π23π4π4xycosxsinx0π2π−π+1−1−π23π4π4

    Calculer l’aire du domaine situé entre la courbe (Cf)(C_f) et la courbe (Cg)(C_g) et les droites d’équations : x=−π2x = -\frac\pi2 et x=3π4x = \frac{3\pi}{4}

1/

L’aire du domaine situé entre la courbe (Cf)(C_f), l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0x = 0 et x=3x = 3 est :

A=∫03∣f(x)∣dx.∥i⃗∥.∥j⃗∥=4∫03∣f(x)∣dx⋅cm2\mathcal{A}=\int_{0}^{3}\left|f(x)\right|dx .\|\vec{i}\|.\|\vec{j}\| =4\int_{0}^{3}\left|f(x)\right|dx\cdot cm^2
dvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 3y=f(x)dvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 33O⃗i⃗j2
∫03∣f(x)∣dx=∫02∣f(x)∣dx+∫23∣f(x)∣dx=∫02f(x)dx−∫23f(x)dx=∫02(−x2+2x)dx−∫23(−x2+2x)dx=[−x33+x2]02−[−x33+x2]23=−83+4−(−9+9+83−4)=83\begin{align*} \int_{0}^{3}\left|f(x)\right|dx &= \int_{0}^{2}\left|f(x)\right|dx + \int_{2}^{3}\left|f(x)\right|dx \\ &= \int_{0}^{2}f(x)dx - \int_{2}^{3}f(x)dx \\ &= \int_{0}^{2}(-x^2+2x)dx - \int_{2}^{3}(-x^2+2x)dx \\ &=\left[-\frac{x^3}3+x^2\right]^2_0 - \left[-\frac{x^3}3+x^2\right]^3_2 \\ &=-\frac83+4-(-9+9+\frac83-4) \\ &=\frac{8}3 \end{align*}
A=323cm2\mathcal{A}=\frac{32}3cm^2

2/

L’aire du domaine situé entre la courbe (Cf)(C_f) et la courbe (Cg)(C_g) et les droites d’équations x=−π2x = -\frac\pi2 et x=3π4x = \frac{3\pi}{4} est :

A=∫−π23π4∣f(x)−g(x)∣dx.∥i⃗∥.∥j⃗∥=∫−π23π4∣f(x)−g(x)∣dx⋅cm2\begin{align*} \mathcal{A}&=\int_{-\frac\pi2}^{\frac{3\pi}{4}}\left|f(x)-g(x)\right|dx .\|\vec{i}\|.\|\vec{j}\|\\ &=\int_{-\frac\pi2}^{\frac{3\pi}{4}}\left|f(x)-g(x)\right|dx\cdot cm^2 \end{align*}
xycosxsinxdvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 30π2π−π+1−1−π23π4π4xycosxsinxdvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 30π2π−π+1−1−π23π4π4
  • Sur l’intervalle ]−π2,π4[]-\frac\pi2,\frac\pi4[ la courbe de cos⁡\cos est située au dessus de la courbe de sin⁡\sin
  • Sur l’intervalle ]π4,3π4[]\frac\pi4,\frac{3\pi}4[ la courbe de sin⁡\sin est située au dessus de la courbe de cos⁡\cos
∫−π23π4∣cos⁡(x)−sin⁡(x)∣dx=∫−π2π4∣cos⁡(x)−sin⁡(x)∣dx+∫π43π4∣cos⁡(x)−sin⁡(x)∣dx=∫−π2π4cos⁡(x)−sin⁡(x)dx−∫π43π4cos⁡(x)−sin⁡(x)dx=[sin⁡x+cos⁡x]−π2π4−[sin⁡x+cos⁡x]π43π4=22+1\begin{align*} \int_{-\frac\pi2}^{\frac{3\pi}{4}}\left|\cos(x)-\sin(x)\right|dx &=\int_{-\frac\pi2}^{\frac{\pi}{4}}\left|\cos(x)-\sin(x)\right|dx +\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\left|\cos(x)-\sin(x)\right|dx \\ &=\int_{-\frac\pi2}^{\frac{\pi}{4}}\cos(x)-\sin(x)dx -\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\cos(x)-\sin(x)dx \\ &=\left[\sin x+\cos x\right]_{-\frac\pi2}^{\frac\pi4} -\left[\sin x+\cos x\right]_{\frac\pi4}^{\frac{3\pi}4} \\&=2\sqrt2+1 \end{align*}
A=(22+1)cm2\mathcal{A}=(2\sqrt2+1)cm^2