تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Calcul intégral

Exercice 15

L’espace étant rapporté au repère orthonormé (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})

Soit ff la fonction numérique de la variable réelle xx définie sur R+\R^+ par : f(x)=x(ex−1)f(x)=\sqrt{x(e^x-1)}

et soit (C)(C) sa courbe repréentatve dans le repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j})

Calculer V\mathcal{V} le volume du solide de révolution engendré par la rotation de (C)(C) autour de l’axe des abscisses sur l’intervalle [0,1][0,1]

Propriété : Soit ff une fonction continue sur [a,b][a, b].

et (Cf)(C_f) sa coube représentative dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j})

La rotation de la courbe (Cf)(C_f) au tour de l’axe des abscisses engendre un solide de volume

V=∫abπ(f(x))2 dx uniteˊ\mathcal{V}=\int_a^b\pi(f(x))^2\ dx\ \text{unité}

avec : uniteˊ=∥i⃗∥.∥j⃗∥.∥k⃗∥\text{unité}=\|\vec{i}\|.\|\vec{j}\|.\|\vec{k}\|

Correction

Le volume d’un solide de révolution engendré par la rotation de la courbe (C)(C) autour de l’axe des abscisses est donné par :

V=π∫01[f(x)]2 dx\mathcal{V} = \pi \int_{0}^{1} \left[f(x)\right]^2 \, dx

Or :

f(x)2=x(ex−1)f(x)^2 = x(e^x - 1)

Donc :

V=π∫01x(ex−1) dx=π(∫01xex dx−∫01x dx)\begin{aligned} \mathcal{V} &= \pi \int_{0}^{1} x(e^x - 1) \, dx \\ &= \pi \left( \int_0^1 x e^x \, dx - \int_0^1 x \, dx \right) \end{aligned}

∙\bullet\quad ∫01xex dx\displaystyle\int_0^1 x e^x \, dx ?

Par intégration par parties :

  • u=x⇒u′=1u = x \Rightarrow u' = 1
  • v′=exdx⇒v=exv' = e^x dx \Rightarrow v = e^x

Alors :

∫01xex dx=[xex]01−∫01ex dx=e−[ex]01=e−(e−1)=1\begin{aligned} \int_0^1 x e^x \, dx &= [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx &= e - [e^x]_0^1 \\ &=e-(e-1)=1 \end{aligned}

∙\bullet\quad ∫01x dx\displaystyle\int_0^1 x \, dx ?

∫01x dx=[x22]01=12\int_0^1 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}

D’où :

V=π(1−12)=π2uniteˊ\mathcal{V} = \pi \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{2}\text{unité}