Calcul intégral

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

Calculer l’intégrale : $\displaystyle\int_{-3}^{0}|x^2-x-2|dx$
Soit $f$ la fonction définie par :
$\left\{\begin{array}{ll} f(x)=\dfrac{2}{27}x+\dfrac{1}{x^2} & \text{si } \ 1\le x\le 3 \\~\\ f(x)=\dfrac{1}{x} & \text{si } \ x\ge 3 \end{array} \right.$
Calculer l’intégrale : $\displaystyle\int_{1}^{4}f(x)dx$

Correction

On veut calculer :

\int_{-3}^{0} |x^2 - x - 2|\,dx.

$\bullet$ signe de $x^2-x-2$ sur $[-3,0]$

on a : $\Delta=9$

\begin{cases} x_1=\dfrac{1+\sqrt9}{2}=2\\ x_2=\dfrac{1-\sqrt9}{2}=-1\\ \end{cases}

entre les racines signe de $-a=-1$

\begin{array}{c|cccccc} x & -3 & & -1 & & 0\\\hline x^2-x-2 & & + & 0 & -& \end{array}

Donc :

\int_{-3}^{0} |f(x)|\,dx = \int_{-3}^{-1} f(x)\,dx - \int_{-1}^{0} f(x)\,dx.

Primitive de $x\mapsto x^2-x-2$ :

F:x\mapsto \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x.

Les calculs :

\begin{align*} \int_{-3}^{-1} f(x)\,dx &= F(-1) - F(-3) \\ &= \frac{7}{6} + \frac{15}{2} = \frac{26}{3} \end{align*}

\begin{align*} \int_{-1}^{0} f(x)\,dx &= F(0) - F(-1) \\ &= 0 - \frac{7}{6} = -\frac{7}{6} \end{align*}

Donc :

\int_{-3}^{0} |x^2 - x - 2|\,dx = \frac{26}{3} + \frac{7}{6} = \frac{59}{6}.

\boxed{\int_{-3}^{0} |x^2 - x - 2|\,dx=\frac{59}{6}}

On a :

f(x) = \begin{cases} \dfrac{2}{27}x + \dfrac{1}{x^2} & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ \dfrac{1}{x} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}

On calcule :

\int_1^4 f(x)\,dx = \int_1^3 f(x) dx + \int_3^4 f(x) dx

\begin{align*} \int_1^3 f(x)\,dx &=\int_1^3 \left( \frac{2}{27}x + \frac{1}{x^2} \right) dx\\ &=\left[\frac{x^2}{27}-\frac1x\right]_1^3=\dfrac{26}{27} \end{align*}

\begin{align*} \int_3^4 f(x)\,dx &=\int_3^4 \frac{1}{x}\,dx \\ &=\left[\ln x\right]_3^4=\ln4-\ln3 \end{align*}

Donc :

\boxed{\int_1^4 f(x)\,dx = \frac{26}{27} + \ln\left(\frac{4}{3}\right)}