تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Calcul intégral

Exercice 11

  1. En utilisant une intégration par parties, Mq :

    • ∫012(2x−1)e2xdx=2−e2\displaystyle\int_{0}^{\frac12} (2x-1)e^{2x}dx=\frac{2-e}2
    • ∫1eln(x)x2dx=1−2e\displaystyle\int_{1}^{e} \frac{ln(x)}{x^2}dx=1-\frac{2}{e}

  2. En utilisant une intégration par parties, calculer l’intégrale:

∫14ln(x)xdx\int_{1}^{4} \frac{ln(x)}{\sqrt{x}}dx

La formule d’integration par parties :

∫u(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]−∫u′(x)v(x) dx\int u(x)v'(x)\,dx = \left[u(x)v(x)\right] - \int u'(x)v(x)\,dx

1/

∙∫012(2x−1)e2xdx=2−e2\bullet\quad\displaystyle\int_{0}^{\frac12} (2x-1)e^{2x}dx=\dfrac{2-e}2 ?

Posons : u′(x)=e2xu'(x)=e^{2x} et v(x)=2x−1v(x)=2x-1

Donc : u(x)=12e2xu(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x} et v′(x)=2v'(x)=2

∫012(2x−1)e2x dx=[12e2x(2x−1)]012−∫01212e2x⋅2 dx=12−[12e2x]012=12−(12e−12)=2−e2\begin{align*} \int_{0}^{\frac{1}{2}} (2x - 1)e^{2x} \, dx &= \left[ \frac{1}{2}e^{2x}(2x - 1) \right]_0^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 2 \, dx \\ &= \frac{1}{2} - \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_0^{\frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{2}e - \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{2 - e}{2} \end{align*}

∙∫1eln⁡(x)x2dx=1−2e\bullet\quad\displaystyle\int_{1}^{e} \frac{\ln(x)}{x^2}dx=1-\frac{2}{e} ?

Posons : u′(x)=1x2u'(x)=\dfrac{1}{x^2} et v(x)=ln⁡xv(x)=\ln x

Donc : u(x)=−1xu(x)=\dfrac{-1}{x} et v′(x)=1xv'(x)=\dfrac1x

∫1eln⁡(x)x2 dx=[−ln⁡xx]1e−∫1e(−1x2)dx=−1e−[1x]1e=−1e−(1e−1)=1−2e\begin{align*} \int_{1}^{e} \frac{\ln(x)}{x^2} \, dx &= \left[-\frac{\ln x}{x}\right]_1^{e} - \int_{1}^{e} \left(-\frac{1}{x^2}\right)dx \\ &= -\frac{1}{e} - \left[\frac{1}{x}\right]_1^{e} \\ &= -\frac{1}{e} - \left(\frac{1}{e} - 1\right) \\ &= 1 - \frac{2}{e} \end{align*}

2/ ∫14ln⁡(x)xdx\quad\displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac{\ln(x)}{\sqrt{x}}dx ?

Posons : u′(x)=1xu'(x)=\dfrac{1}{\sqrt x} et v(x)=ln⁡xv(x)=\ln x

Donc : u(x)=2xu(x)=2\sqrt x et v′(x)=1xv'(x)=\dfrac1x

∫14ln⁡(x)x dx=[2xln⁡x]14−∫142x⋅1x dx=24ln⁡4−21ln⁡1−2∫14xx dx=4ln⁡4−0−2∫14x−12 dx=4ln⁡4−2[2x]14=4ln⁡4−4(4−1)=4ln⁡4−4(2−1)=4ln⁡4−4\begin{align*} \int_{1}^{4} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} \, dx &= \left[2\sqrt{x}\ln x\right]_1^4 - \int_1^4 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ &= 2\sqrt{4}\ln 4 - 2\sqrt{1}\ln 1 - 2\int_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x} \, dx \\ &= 4\ln 4 - 0 - 2\int_1^4 x^{-\frac{1}{2}} \, dx \\ &= 4\ln 4 - 2\left[2\sqrt{x}\right]_1^4 \\ &= 4\ln 4 - 4\left(\sqrt{4} - \sqrt{1}\right) \\ &= 4\ln 4 - 4(2 - 1) \\ &= 4\ln 4 - 4 \end{align*}