Calcul intégral

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

On considére la fonction numérique définie sur $\R-\{-1\}$ par: $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$

Déterminer, la valeur moyenne de $f$ sur $[0;e^2-1]$
Calculer $\mu$ , la valeur moyenne sur l’intervalle $[0;1]$ de la fonction $f:x\mapsto\dfrac{e^x}{6+e^x}$
$\mu=2$ est la valeur moyenne d’une fonction $f$ sur l’intervalle $I=[1;4]$ , Calculer l’intégrale : $\displaystyle\int_{1}^{4}f(x)dx$

Correction

La formule de la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle $[a, b]$ :

\text{Valeur moyenne} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx

1/ Ici, $a = 0$ et $b = e^2 - 1$ et $b-a=e^2-1$

Donc, nous devons calculer :

\text{Valeur moyenne} = \frac{1}{e^2 - 1} \int_{0}^{e^2 - 1} \frac{1}{1+x} \, dx

\begin{align*} \int_{0}^{e^2 - 1} \frac{1}{1+x} \, dx &= \left[ \ln|1+x| \right]_{0}^{e^2 - 1} \\ & = \ln|1 + e^2 - 1| \\ & = \ln|e^2| - \ln|1| \\ & = \ln(e^2)= 2 \ln(e) \\ & = 2 \end{align*}

\text{Valeur moyenne} = \frac{1}{e^2 - 1} \cdot 2= \frac{2}{e^2 - 1}

Par conséquent, la valeur moyenne de $f(x) = \dfrac{1}{1+x}$ sur l’intervalle $[0; e^2 - 1]$ est $\dfrac{2}{e^2 - 1}$ .

2/ ici $f(x)=\dfrac{e^x}{6 + e^x}$ et $a=0$ et $b=1$

La valeur moyenne est :

\begin{align*} \mu &= \frac{1}{1 - 0} \int_{0}^{1} \frac{e^x}{6 + e^x} \, dx \\ &= \int_0^1 \frac{e^x}{6 + e^x} \, dx\\ &=\left[\ln(6+e^x)\right]_0^1\\ &=\ln\left( \frac{6 + e}{7} \right) \end{align*}

On nous donne que $\mu = 2$ est la valeur moyenne d’une fonction $f$ sur l’intervalle $I = [1; 4]$ .
La formule de la valeur moyenne donne :

\mu = \frac{1}{4 - 1} \int_1^4 f(x) \, dx = \frac{1}{3} \int_1^4 f(x) \, dx.

En multipliant par 3 de chaque côté :

\int_1^4 f(x) \, dx = 3 \times 2 = 6.