📝 Exercices de la série▼
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Exercice 9

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs du plan tels que : ∥u⃗∥=2\|\vec{u}\| = 2, ∥v⃗∥=3\|\vec{v}\| = 3, et (u⃗,v⃗‾)≡2π3 [2π]\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) \equiv \dfrac{2\pi}3 \ [2\pi].

Calculer :

  • u⃗⋅v⃗;u⃗2;v⃗2\vec{u} \cdot \vec{v} \quad;\quad \vec{u}^2 \quad;\quad \vec{v}^2
  • (2u⃗−v⃗)⋅(u⃗+32v⃗)(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \frac{3}{2} \vec{v})

  1. Calculons u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}, u⃗2\vec{u}^2, et v⃗2\vec{v}^2 :

    • Le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} est donné par la formule :
    u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗‾)=2×3×cos⁡(2π3)=6×(−12)=−3 \begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &= \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) \\ &= 2 \times 3 \times \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \\ &= 6 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ &= -3 \end{align*}
    • La norme au carré de u⃗\vec{u} :
    u⃗2=∥u⃗∥2=22=4 \begin{align*} \vec{u}^2 &= \|\vec{u}\|^2 = 2^2 = 4 \end{align*}
    • La norme au carré de v⃗\vec{v} :
    v⃗2=∥v⃗∥2=32=9 \begin{align*} \vec{v}^2 &= \|\vec{v}\|^2 = 3^2 = 9 \end{align*}

  2. Calculons (2u⃗−v⃗)⋅(u⃗+32v⃗)(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \frac{3}{2} \vec{v}) :

    (2u⃗−v⃗)⋅(u⃗+32v⃗)=2u⃗⋅u⃗+2u⃗⋅32v⃗−v⃗⋅u⃗−v⃗⋅32v⃗=2∥u⃗∥2+3u⃗⋅v⃗−u⃗⋅v⃗−32∥v⃗∥2=2×4+2u⃗⋅v⃗−32×9=8+2×(−3)−272=−232\begin{align*} &(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \frac{3}{2} \vec{v}) \\ &= 2\vec{u} \cdot \vec{u} + 2\vec{u} \cdot \frac{3}{2} \vec{v} - \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \frac{3}{2} \vec{v}\\ &=2\|\vec{u}\|^2+3\vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{u} \cdot \vec{v} - \frac{3}{2} \|\vec{v}\|^2\\ &=2\times4+2\vec{u} \cdot \vec{v}-\frac{3}{2}\times9\\ &=8+2\times(-3)-\frac{27}{2} \\ &=-\frac{23}{2} \end{align*}