📝 Exercices de la série▼
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Exercice 10

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs tels que : ∥u⃗∥=2\|\vec{u}\| = 2, ∥v⃗∥=3\|\vec{v}\| = 3, et (u⃗,v⃗‾)≡π2 [2π]\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) \equiv \dfrac\pi2 \ [2\pi].

Calculer :

  • u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}
  • (2u⃗−3v⃗)2(2\vec{u} - 3\vec{v})^2

  1. Calculons u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} :

    u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗‾)=2×3×cos⁡(π2)=6×0=0\begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &= \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) \\ &= 2 \times 3 \times \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \\ &= 6 \times 0 \\ &= 0 \end{align*}

  2. Calculons (2u⃗−3v⃗)2(2\vec{u} - 3\vec{v})^2 :

    (2u⃗−3v⃗)2=(2u⃗)2−2×2u⃗⋅3v⃗+(3v⃗)2=4∥u⃗∥2−12u⃗⋅v⃗+9∥v⃗∥2=4.22−12×0+9.32=97\begin{align*} (2\vec{u} - 3\vec{v})^2 &= (2\vec{u})^2 - 2 \times 2\vec{u} \cdot 3\vec{v} + (3\vec{v})^2\\ &=4\|\vec{u}\|^2-12\vec{u} \cdot \vec{v}+9\|\vec{v}\|^2 \\ &=4.2^2-12\times0+9.3^2 \\ &=97 \end{align*}