📝 Exercices de la série▼
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Exercice 7

  1. Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs du plan.

    Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} dans les deux cas suivants :

    • ∥u⃗∥=1\|\vec{u}\| = 1, ∥v⃗∥=3\|\vec{v}\| = \sqrt{3} et (u⃗,v⃗‾)≡π6 [2π]\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) \equiv \dfrac\pi6 \ [2\pi].

    • ∥u⃗∥=2\|\vec{u}\| = 2, ∥v⃗∥=22\|\vec{v}\| = \frac{2}{\sqrt{2}}, et (u⃗,v⃗‾)≡5π4 [2π]\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) \equiv \dfrac{5\pi}4 \ [2\pi].

  2. Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs du plan. Déterminer les mesures possibles de l’angle orienté (u⃗,v⃗)^\hat{(\vec{u}, \vec{v})} sachant que : ∥u⃗∥=4\|\vec{u}\| = 4, ∥v⃗∥=2\|\vec{v}\| = \sqrt{2}, et u⃗⋅v⃗=−26\vec{u} \cdot \vec{v} = -2\sqrt{6}.

  1. on a :
u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥.∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗‾)=1×3×cos⁡(π6)=3.32=32\begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &=\|\vec{u}\|.\|\vec{v}\|\cos\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right)\\ &=1\times\sqrt3\times\cos\left(\dfrac\pi6 \right)\\ &=\sqrt3.\dfrac{\sqrt3}2 \\ &=\dfrac32 \end{align*}
u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥.∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗‾)=2×22×cos⁡(5π4)=42cos⁡(π+π4)=−42cos⁡(π4)=−4222=−2\begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &=\|\vec{u}\|.\|\vec{v}\|\cos\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right)\\ &=2\times\dfrac{2}{\sqrt2}\times\cos\left(\dfrac{5\pi}4 \right)\\ &=\dfrac4{\sqrt2}\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}4 \right) \\ &=-\dfrac4{\sqrt2}\cos\left(\dfrac{\pi}4 \right) \\ &=-\dfrac4{\sqrt2}\dfrac{\sqrt2}2 \\ &=-2 \end{align*}

  1. on a :

    u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥.∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗‾)\vec{u} \cdot \vec{v} =\|\vec{u}\|.\|\vec{v}\|\cos\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right)

    Donc :

    cos⁡(u⃗,v⃗‾)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥.∥v⃗∥=−264.2=−32\begin{align*} \cos\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right)&=\dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v} }{\|\vec{u}\|.\|\vec{v}\|}\\ &=\dfrac{-2\sqrt6}{4.\sqrt2}\\ &=-\dfrac{\sqrt3}{2} \end{align*}

    on a cos⁡π6=32\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2 et cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi-x)=-\cos x et cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi+x)=-\cos x

    Donc, les mesures possibles de l'angle orienté (u⃗,v⃗)^\hat{(\vec{u}, \vec{v})} sont 5π6\dfrac{5\pi}6 et 7π6\dfrac{7\pi}6