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Considérons un trapèze $ABCD$ de bases $[AB]$ et $[CD]$ et rectangle en $B$ , tels que $AB= BC = 1$ et $AD = 2$ . (Voir la figure)

Soit $I$ le milieu du segment $[CD]$ et $H$ est la projection orthogonale du point $A$ sur la droite $(CD)$ .

Montrer que $\widehat{HAD}=\dfrac\pi3$ (on peut calculer $\cos\widehat{HAD}$ )

En déduire que $\widehat{DAC}=\dfrac{7\pi}{12}$
Calculer $HD$ et Vérifier que $DC=1+\sqrt3$
Calculer $\cos\dfrac{7\pi}{12}$
Calculer $AI$

Correction

- Mesure de l'angle $[\widehat{HAD}]$
  
  $\cos\widehat{HAD}=\dfrac{HA}{AD}=\dfrac12$
  
  et comme $\widehat{HAD}$ est un angle aigu alors $\widehat{HAD}=\dfrac\pi3$
- Mesure de l'angle $[\widehat{DAC}]$
  
  On a : $\widehat{DAC}=\widehat{DAH}+\widehat{HAC}$
  
  puisque $\widehat{HAC}=\dfrac\pi4~~~~$ (ABCH carré de diamètre $[AC]$ ) donc :
  $\widehat{DAC}=\dfrac\pi3+\dfrac\pi4=\dfrac{7\pi}{12}$
- Calcul de HD
$HD=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$
- Calcul de DC
$DC=DH+HC=1+\sqrt3$
Calcul de $\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$

D'aprés le théorème d'Al-Kashi dans le triangle $ACD$ on a :
$\begin{align*} &CD^2=AC^2+AD^2-2AC.AD.\cos\hat{DAC}\\&CD^2=AC^2+AD^2-2AC.AD.\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) \end{align*}$
et on a $AC^2=AB^2+BC^2=2$ , c-à-d : $AC=\sqrt2$

Donc :
$\begin{align*} \cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)&=\dfrac{AC^2+AD^2-CD^2}{2AC.AD} \\ &=\dfrac{\sqrt2+2^2-(1+\sqrt3)^2}{2\times\sqrt2\times2}\\ &=\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4} \end{align*}$
Calcul de $AI$

On a $I$ milieu de $[CD]$ , théorème de la médiane :
$AC^2+AD^2=2AI^2+\dfrac{DC^2}2$ $AI^2 = \dfrac{2AC^2 + 2AD^2 - DC^2}{4}$ $\begin{align*} AI^2 &= \dfrac{2 \times \sqrt2^2 + 2 \times 2^2 - (1+\sqrt3)^2}{4} \\&= \dfrac{8-2\sqrt3}{4} \end{align*}$
Alors
$AI=\dfrac{\sqrt{8-2\sqrt3}}{2}$