📝 Exercices de la série▼
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Exercice 11

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs tels que : ∥u⃗∥=2\|\vec{u}\| = \sqrt{2}, ∥v⃗∥=22\|\vec{v}\| = 2\sqrt{2}, et ∥u⃗+v⃗∥=4\|\vec{u} + \vec{v}\| = 4.

Calculer :

  • u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}
  • ∥u⃗−v⃗∥\|\vec{u} - \vec{v}\|

  1. Calcul de u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} :

    ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+∥v⃗∥2+2u⃗⋅v⃗42=22+(22)2+2u⃗⋅v⃗u⃗⋅v⃗=16−102=3\begin{align*} \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 &= \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v}\\ 4^2&=\sqrt{2}^2+(2\sqrt{2})^2+2 \vec{u} \cdot \vec{v} \\ &\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{16-10}2=3 \end{align*}

    Enfin :

    u⃗⋅v⃗=3\vec{u} \cdot \vec{v} = 3

  2. Calcul de ∥u⃗−v⃗∥\|\vec{u} - \vec{v}\| :

    ∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2+∥v⃗∥2−2u⃗⋅v⃗=2+8−2×3=4\begin{align*} \|\vec{u} - \vec{v}\|^2 &= \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v}\\ &=2+8-2\times3\\ &=4 \end{align*}

    Donc

    ∥u⃗−v⃗∥=4=2\|\vec{u} - \vec{v}\|=\sqrt4=2