📝 Exercices de la série▼
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Exercice 4

ABCABC est un triangle tels que :   BAC^=3π4,AB=22,AC=5~~\widehat{BAC} = \frac{3\pi}{4}, \quad AB = 2\sqrt{2}, \quad AC = 5

  1. Calculer BCBC.

  2. II est le milieu de [BC][BC]. Calculer AIAI.

  1. Calcul de BCBC :
    Selon le théorème de Al KACHI, nous avons :

    BC2=AB2+AC2−2×AB×AC×cos⁡(3π4)=(22)2+(5)2−2×22×5×(−22)=8+25+20=53\begin{align*} BC^2 &= AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) \\ &= (2\sqrt{2})^2 + (5)^2 - 2 \times 2\sqrt{2} \times 5 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &= 8 + 25 + 20 \\ &= 53 \end{align*}

    Donc, BC=53BC = \sqrt{53}.

  2. Calcul de AIAI :
    Selon le théorème de la médiane, nous avons :

    AB2+AC2=2×AI2+BC222×AI2=AB2+AC2−BC22=132\begin{align*} AB^2 + AC^2 &= 2 \times AI^2 + \frac{BC^2}{2} \\ 2 \times AI^2 &= AB^2 + AC^2 - \frac{BC^2}{2} \\ &= \frac{13}{2} \end{align*}

    Donc,

    AI2=134AI=132\begin{align*} AI^2 &= \frac{13}{4} \\ AI &= \frac{\sqrt{13}}{2} \end{align*}