📝 Exercices de la série▼
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Exercice 5

Voir la figure :

B A C H 1 2 2
  1. Calculer BH→⋅BC→  \overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{BC}~~ ;   CH→⋅BH→  ~~\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{BH}~~ et   HA→⋅HB→~~\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}
  2. En déduire que : CA→⋅BH→=−2  \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BH}=-2~~ et   BA→⋅BC→=3~~\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=3
    • BH→.BC→=BH.BC=1×2=2\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BC}=BH.BC=1\times 2=2
    • CH→.BH→=−CH.BH=−2\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{BH}=-CH.BH=-2
    • HA→.HB→=0\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{HB}=0 car (HA)⊥(HB)(HA)\perp(HB)
CA→.BH→=(CH→+HA→).BH→=CH→.BH→+HA→.BH→=−2+0=−2\begin{align*} \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BH} &=\left(\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{HA}\right).\overrightarrow{BH} \\&=\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BH}\\ &=-2+0=-2 \end{align*} BA→.BC→=(BH→+HA→).BC→=BH→.BC→+HA→.BC→=3+0=3\begin{align*} \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}&=\left(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HA}\right).\overrightarrow{BC}\\ &=\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC}\\ &=3+0=3 \end{align*}

car (HA)⊥(BC)(HA)\perp(BC)

Autrement :

On a HH est le projeté orthogonal de AA sur (BC)(BC)

donc :

  • BA→.BC→=BH.BC=1×3=3\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BH.BC=1\times3=3
  • CA→.BH→=−CH.BH=−2×1=−2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BH}=-CH.BH=-2\times1=-2