📝 Exercices de la série▼
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Exercice 6

Soit ABCDABCD un trapèze rectangle tel que: AB=6AB=6 et CD=5CD=5

et soient II et JJ les milieux respectifs de [AB][AB] et [CD][CD]

(Voir la figure).

D C B A D ʹ • I • J

Calculer les produits scalaires suivants :

AB→⋅AD→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}AI→⋅AB→\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AB}
AD→⋅CJ→\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CJ}AB→⋅CD→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}
AI→⋅IJ→\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IJ}BI→⋅ID→\overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{ID}
AB→⋅AD→=AB.AD′=6×1=6\begin{align*} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\\&=AB.AD'\\&=6\times 1\\&=6 \end{align*}

  • on AI→\overrightarrow{AI} et AB→\overrightarrow{AB} sont colinéaires et de même sens

    Donc

    AI→⋅AB→=AI.AB=3×6=18\begin{align*} \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AB}&=AI.AB\\&=3\times 6\\&=18 \end{align*}
AD→⋅CJ→=−AD′.CJ=−1×52=−52\begin{align*} \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CJ}&=-AD'.CJ\\&=-1\times \dfrac52\\&=-\dfrac52 \end{align*}

  • on AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires et de sens oposés.

    Donc :

    AB→⋅CD→=−AB.CD=−6×5=−30\begin{align*} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} &=-AB.CD\\&=-6\times5\\&=-30 \end{align*}

  • Soit J′J' le projeté orthogonal de JJ sur (AB)(AB)

    AI→⋅IJ→=AI.IJ′=3×(3−2,5)=1,5\begin{align*} \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IJ}&=AI.IJ'\\ &=3\times(3-2,5)\\ &=1,5 \end{align*} car : IJ′=IB−J′B=IB−JC\begin{align*} \text{car : }IJ'&=IB-J'B\\ &=IB-JC \end{align*}

  • BI→⋅ID→=BI.ID′=3×2=6\overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{ID}=BI.ID'=3\times 2=6