📝 Exercices de la série▼
Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice 5Exercice 6Exercice 7Exercice 8Exercice 9Exercice 10Exercice 11Exercice 12Exercice 13Exercice 14

Exercice 3

ABCABC est un triangle tels que : AB=3  AB=3~~ ,   AC=4~~AC=4 et BAC^=2π3\widehat{BAC}=\dfrac{2\pi}3

PP et QQ deux points tels que : AP→=2AB→+AC→\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} et AQ→=AB→−3AC→\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}

  1. Calculer AB→.AC→\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}
  2. Calculer AP→.AQ→\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{AQ} puis déduire.
  1. Calcul de AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} :
AB→⋅AC→=AB×AC×cos⁡(2π3)=3×4×(−12)=−6\begin{align*} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= AB \times AC \times \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\\ &= 3 \times 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= -6 \end{align*}

  1. Calcul de AP→⋅AQ→\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ}

    AP→⋅AQ→=(2⋅AB→+AC→)⋅(AB→−3⋅AC→)=2⋅AB2−6⋅AB→⋅AC→+AC→⋅AB→−3⋅AC2=2⋅AB2−3⋅AC2−5⋅AB→⋅AC→\begin{align*} \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} &= (2 \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot (\overrightarrow{AB} - 3 \cdot \overrightarrow{AC}) \\ &= 2 \cdot AB^2 - 6 \cdot \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} - 3 \cdot AC^2 \\ &= 2 \cdot AB^2 - 3 \cdot AC^2 - 5 \cdot \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \end{align*}

    Or, AC2=16AC^2 = 16 et AB2=9AB^2 = 9 et AB→⋅AC→=−6\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-6

    Ainsi, AP→⋅AQ→=0\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} = 0, ce qui prouve que les vecteurs AP→\overrightarrow{AP} et AQ→\overrightarrow{AQ} sont perpendiculaires.