• parité de $A = n^2 + n + 2$

Puisque $n^2 + n = n(n+1)$ est pair, produit de deux entiers consécutifs

ajoutons 2, qui est pair :

$$\begin{align*} A &= n^2 + n + 2 \\& = \text{pair} + 2 \\ &= \text{pair}. \end{align*}$$

Ainsi, $A$ est toujours pair, indépendamment de la parité de $n$.

• parité de $B = n^2 + 7n + 13$

Écrivons $B$ comme suit :

$$\begin{align*} B &= n^2 + 7n + 13 \\ &= n^2 + n + 6n + 13 \\ &= (n^2 + n) + 6n + 13 \end{align*}$$

Nous savons déjà que $n^2 + n$ est pair,

et $6n$ est également pair (produit de 6, un nombre pair, et $n$).

La somme de deux nombres pairs est encore pair. Ajoutons 13, qui est impair :

$$\begin{align*} B & = (\text{pair}) + (\text{pair}) + 13 \\ & = \text{pair} + 13 \\ & = \text{impair} \end{align*}$$

Ainsi, $B$ est toujours impair, indépendamment de la parité de $n$.

$2n+20=2(n+10)=2k$ et avec $k=n+10$ et $k\in\N$

Donc $2n+20$ est pair

$2(n-1)+3=2n-2+3=2n+1$

donc $2(n-1)+3$ est impair

$n^2+n+1=n(n+1)+1$

comme $n(n+1)$ est un produit de deux entiers consécutifs, donc $n(n+1)$ est pair

et donc $n(n+1)=2k$ avec $k\in\N$

$n^2+n+1=n(n+1)+1=2k+1$

D’où $n^2+n+1$ est impair