Autrement dit : Soit $n \in \mathbb{N}$,

Les nombres $n$ et $n+1$ sont consécutifs. Donc $n(n+1)$ est pair.

• Si $n$ est pair, alors $n$ peut être écrit comme $n = 2k$ pour un certain entier $k$.

  $$n(n+1) = 2k(2k+1).$$

  Posons $p=k(2k+1)$ et $p\in\mathbb{N}$

  donc : $n(n+1)=2p$

  Alors : si $n$ est pair alors $n(n+1)$ est pair

• Si $n$ est impair, alors $n$ peut être écrit comme $n = 2k + 1$ pour un certain entier $k$.

  $$n(n+1) = 2(2k+1)(2k+2).$$

  En factorisant $2k+2$, nous obtenons :

  $$n(n+1) = 2(2k+1)(k+1)$$

  Posons $m=(2k+1)(k+1)$ et $m\in\mathbb{N}$

  donc : $n(n+1)=2m$

  Alors : si $n$ est impair alors $n(n+1)$ est pair

  Dans les deux cas, $n(n+1)$ est pair. Par conséquent, le produit de deux nombres consécutifs est toujours pair.