1. Supposons que $n$ soit un nombre impair. Cela signifie que $n$ peut être écrit sous la forme $n = 2k + 1$, où $k$ est un entier.

Remarquons que $k(k + 1)$ est le produit de deux entiers consécutifs, l’un des deux est nécessairement pair.

Donc, $k(k + 1)$ est pair, ce qui implique que $k(k + 1)=2p$ avec $p\in\mathbb{N}$

Conclusion : Si $n$ est impair, alors $n^2 - 1$ est un multiple de 8.

2. Nous cherchons les entiers naturels $n$ tels que $\frac{6}{n+3}$ soit un entier naturel. Cela signifie que $n+3$ doit être un diviseur de 6.

Les diviseurs positifs de 6 sont : 1, 2, 3, 6.

Nous avons donc les équations suivantes :

Conclusion : Les entiers naturels $n$ tels que $\frac{6}{n+3}$ soit un entier sont $n = 0$ et $n = 3$.

3. Si $p$ est différent de 2, alors $p$ doit être impair (puisque 2 est le seul nombre premier pair).

Si $p$ est impair, cela signifie que $p$ peut être écrit sous la forme $p = 2k + 1$, où $k$ est un entier.

Alors,

Nous voyons que $p + 1$ est un multiple de 2, donc $p + 1$ est pair.

Conclusion : Si $p$ est un nombre premier différent de 2, alors $p + 1$ est pair.

Autre réponse

On a $p$ premier et différent de $2$, donc $p$ et impair et on a $1$ est impair

Donc : $p+1$ est pair

(car la somme de entiers naturels impairs est pair)