On remarque que $S_1$ est une somme de termes successifs de la suite géométrique $(v_n)_n$ de raison $r=2$ et de premier terme $v_0=1$

on a : $v_n=v_0.(2)^{n-0}=2^n$

et on a $v_n=512 \iff 2^n=512$

$$\begin{array}{c|c} 512 & 2 \\ 256 & 2 \\ 128 & 2 \\ 64 & 2 \\ 32 & 2 \\ 16 & 2 \\ 8 & 2 \\ 4 & 2 \\ 2 & 2 \\ 1 & \end{array}$$

Donc $512=2^9$, alors $v_9=512$

$$\begin{align*} S &=1+2+4+8+16+...+512 \\ &=v_0+v_1+v_2+v_3+...+v_9 \\ &=v_0\dfrac{1-2^{9-0+1}}{1-2} \\ &=2^{10}-1 \end{align*}$$