📝 Exercices de la série▼
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Exercice 11

Soit (vn)n≥1(v_n)_{n\ge1} la suite définie par vn=(12)nv_n=\left(\dfrac12\right)^n

  1. Montrer que (∀n∈N) :  vn+1−vn=−(12)n+1(\forall n\in\N)~:~~v_{n+1}-v_n=-\left(\dfrac12\right)^{n+1}
  2. En déduire la monotonie de (vn)(v_n)
  3. Montrer (vn)(v_n) est une suite géométrique et déterminer sa raison.
  4. Calculer la somme S=v1+v2+...+v10S=v_1+v_2+...+v_{10}
vn+1−vn=(12)n+1−(12)n=(12)n×(12)1−(12)n=(12)n((12)1−1)=(12)n(−12)=−(12)n+1\begin{align*} v_{n+1}-v_n &=\left(\dfrac12\right)^{n+1}-\left(\dfrac12\right)^n \\ &=\left(\dfrac12\right)^n\times \left(\dfrac12\right)^1-\left(\dfrac12\right)^n \\ &=\left(\dfrac12\right)^n\left(\left(\dfrac12\right)^1-1\right) \\ &=\left(\dfrac12\right)^n\left(-\dfrac12\right) \\ &=-\left(\dfrac12\right)^{n+1} \end{align*}

  1. On a : −(12)n+1≤0-\left(\dfrac12\right)^{n+1}\le0 donc vn+1−vn≤0v_{n+1}-v_n\le0

    et donc la suite (vn)n≥1(v_n)_{n\ge1} est décroissante

  2. vn+1=(12)n+1=(12)n×12=12vnv_{n+1}=\left(\dfrac12\right)^{n+1}=\left(\dfrac12\right)^n\times\dfrac{1}{2}=\dfrac12v_n

    donc la suite (vn)n≥1(v_n)_{n\ge1} est gémétrique de raison q=12q=\dfrac12 et de premier terme v1=12v_1=\dfrac{1}{2}

  3. (vn)(v_n) est gémétrique de raison q=12q=\dfrac12 et de premier terme v1=12v_1=\dfrac{1}{2}

    Alors

    S=v1+v2+...+v10=v1×1−q10−1+11−q=12×1−12101−12=1−(12)10=1−2−10\begin{align*} S&=v_1+v_2+...+v_{10} \\ &=v_1\times\dfrac{1-q^{10-1+1}}{1-q} \\ &=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1-\frac12^{10}}{1-\frac12} \\ &= 1-\left(\dfrac12\right)^{10}\\ &= 1-2^{-10} \end{align*}