📝 Exercices de la série▼
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Exercice 10

Soit (un)(u_n) une suite arithmétique de raison r=2r=2 et u0=−2u_0=-2

  1. Ecrire un+1u_{n+1} en fonction de unu_n puis déduire u1u_1 et u2u_2
  2. Ecrire unu_n en fonction de nn pour tout n∈Nn\in\N
  3. Le nombre 20242024 est il un terme de la suite (un)(u_n) ?
  4. Calculer la somme S=u3+u4+...+u31S=u_3+u_4+...+u_{31}
  1. Puisque (un)(u_n) est arithmétique de raison r=2r=2, alors :
un+1=un+r=un+2u_{n+1}=u_n+r=u_n+2
  • u0+1=u0+2=−2+2  ⟹  u1=0u_{0+1}=u_0+2=-2+2 \implies \boxed{u_1=0}
  • u1+1=u1+2=0+2  ⟹  u2=2u_{1+1}=u_1+2=0+2 \implies \boxed{u_2=2}
  1. Soit n∈Nn\in\N, on a : un=up+r(n−p)u_n=u_p+r(n-p)

Pour p=0p=0 on a un=u0+rn=−2+2nu_n=u_0+rn=-2+2n

un=−2+2n     (∀n∈N)\boxed{u_n=-2+2n}~~~~~(\forall n\in\N)
un=2024  ⟹  −2+2n=2024  ⟹  2n=2024+2  ⟹  n=20262=1013\begin{align*} u_n=2024 &\implies -2+2n=2024 \\ &\implies 2n=2024+2 \\ &\implies n=\frac{2026}{2}=1013 \end{align*}

donc 20242024 est un terme de la suite c'est le terme u1013u_{1013}

S=u3+u312(31−3+1)S=\dfrac{u_3+u_{31}}{2}(31-3+1)
  • u3=−2+2×3=4u_3=-2+2\times3=4
  • u31=−2+2×31=60u_{31}=-2+2\times31=60
  • S=4+602×29=32×29S=\dfrac{4+60}{2}\times29=32\times29