📝 Exercices de la série▼
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Exercice 12 (Devoir à rendre)

Considérons la suite (wn)n≥1(w_n)_{n\ge1} définie par :

{w2=43wn+1=3wn+2wn+4\left\{\begin{matrix} w_2=\dfrac43\\ w_{n+1}=\dfrac{3w_n+2}{w_n+4} \end{matrix}\right.
  1. Calculer w1w_1 et w3w_3
  2. Montrer par récurrence que :
(∀n∈N∗) : 1<wn<3(\forall n\in\N^*)~:~1<w_n<3
  1. Etudier la monotonie de la suite (wn)n≥1(w_n)_{n\ge1}
  2. Soit la suite (vn)n≥1(v_n)_{n\ge1} définie par : vn=wn−1wn+2v_n=\dfrac{w_n-1}{w_n+2}

(a) Montrer que (vn)n≥1(v_n)_{n\ge1} est géométrique et déterminer sa raison .

(b) Déterminer vnv_n puis wnw_n en fonction de nn

(c) Calculer Sn=v1+v2+...+vnS_n=v_1+v_2+...+v_n en fonction de nn

  1. on a wn+1=3wn+2wn+4w_{n+1}=\frac{3w_n+2}{w_n+4} et w2=43w_2=\frac43

    Pour n=1n=1 on a :

    w2=3w1+2w1+4     ⟹  3w1+2=w2(w1+4)     ⟹  w1(3−w2)=4w2−2     ⟹  w1=4w2−23−w2=4×43−23−43     ⟹  w1=105=2\begin{align*} &w_2=\frac{3w_1+2}{w_1+4} \\ &~~~\implies 3w_1+2=w_2(w_1+4) \\ &~~~\implies w_1(3-w_2)=4w_2-2 \\ &~~~\implies w_1=\frac{4w_2-2}{3-w_2}=\frac{4\times\frac43-2}{3-\frac43} \\ &~~~\implies \boxed{w_1=\frac{10}5=2} \end{align*}
    • pour n=1n=1 on a w1=2w_1=2 et 1<w1<31<w_1<3

    La proposition est vraie pour n=1n=1

    • Soit n∈N∗n\in\N^*, supposons que 1<wn<31<w_n<3

    et montrons que 2<wn+1<32<w_{n+1}<3

    on a :

    1−wn+1=1−3wn+2wn+4=1(wn+4)−(3wn+2)wn+4=−2wn+2wn+4\begin{align*} 1-w_{n+1} &=1-\frac{3w_n+2}{w_n+4}\\ &=\frac{1(w_n+4)-(3w_n+2)}{w_n+4} \\ &=\frac{-2w_n+2}{w_n+4} \end{align*} 3−wn+1=3−3wn+2wn+4=3(wn+4)−(3wn+2)wn+4=10wn+4\begin{align*} 3-w_{n+1} &=3-\frac{3w_n+2}{w_n+4}\\ &=\frac{3(w_n+4)-(3w_n+2)}{w_n+4} \\ &=\frac{10}{w_n+4} \end{align*}

    D'apres la question précédente on a 1<wn<31<w_n<3

    Donc : wn+4>0w_n+4>0 et wn>1  ⟹  −2wn<−2  ⟹  −2wn+2<0w_n>1 \implies -2w_n<-2\implies -2w_n+2<0

    donc : 1−wn+1<01-w_{n+1}<0 et 3−wn+1>03-w_{n+1}>0

    Donc : 1<wn+1<31<w_{n+1}<3

    • D'aprés le raisonnement par récurrence : (∀n∈N∗) : 1<wn<3(\forall n\in\N^*)~:~1<w_{n}<3

  3. Soit n∈N∗n\in\N^*, on a :

    wn+1−wn=3wn+2wn+4−wn=3wn+2−wn2−4wnwn+4=−wn2+wn−2wn+4=−wn2−12+wn−1wn+4=−(wn−1)(wn+1)+(wn−1)wn+4=−(wn−1)(wn+2)wn+4\begin{align*} w_{n+1}-w_n &=\frac{3w_n+2}{w_n+4}-w_n\\ &=\frac{3w_n+2-w^2_n-4w_n}{w_n+4}\\ &=-\frac{w^2_n+w_n-2}{w_n+4}\\ &=-\frac{w^2_n-1^2+w_n-1}{w_n+4}\\ &=-\frac{(w_n-1)(w_n+1)+(w_n-1)}{w_n+4} \\ &=-\frac{(w_n-1)(w_n+2)}{w_n+4} \end{align*}

    D'aprés la question B.2. on a :~~ 1<wn<31<w_n<3

    Donc wn−1>0w_n-1>0 et wn+2>0w_n+2>0 et wn+4>0w_n+4>0

    Donc wn+1−wn<0w_{n+1}-w_n<0, et donc la suite (wn)n≥1(w_n)_{n\ge1} est décroissante.

  4. vn=wn−1wn+2v_n=\dfrac{w_n-1}{w_n+2}

    (a)

    vn+1=wn+1−1wn+1+2=3wn+2wn+4−13wn+2wn+4+2=3wn+2−wn−43wn+2+2wn+8=2(wn−1)5(wn2)=25vn\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{w_{n+1}-1}{w_{n+1}+2}\\ &=\dfrac{\dfrac{3w_n+2}{w_n+4}-1}{\dfrac{3w_n+2}{w_n+4}+2}\\ &=\dfrac{3w_n+2-w_n-4}{3w_n+2+2w_n+8}\\ &=\dfrac{2(w_n-1)}{5(w_n2)}=\dfrac25 v_n \end{align*}

    Donc la suite (vn)(v_n) est géométrique de raison q=25q=\dfrac25 et de premier terme v1=w1−1w1+2=14v_1=\frac{w_1-1}{w_1+2}=\dfrac14

    (b) soit n∈N∗n\in\N^*, on a :

    vn=vp.qn−p=v1.qn−1=14(25)n−1=1222n−15n−1\begin{align*} v_n=v_p.q^{n-p}&=v_1.q^{n-1} \\ &=\dfrac14\left(\dfrac25\right)^{n-1} \\ &=\dfrac1{2^2}\dfrac{2^{n-1}}{5^{n-1}} \end{align*} vn=2n−35n−1\boxed{v_n=\dfrac{2^{n-3}}{5^{n-1}}}

    et on a :

    vn=wn−1wn+2  ⟹  wn−1=vn(wn+2)  ⟹  wn−vnwn=2vn+1  ⟹  wn=2vn+11−vn=22n−35n−1+11−2n−35n−1  ⟹  wn=2n−2+5n−15n−1−2n−3\begin{align*} &v_n=\dfrac{w_n-1}{w_n+2}\\ &\implies w_n-1=v_n(w_n+2) \\ & \implies w_n-v_nw_n=2v_n+1 \\ &\implies w_n=\dfrac{2v_n+1}{1-v_n}=\dfrac{2\dfrac{2^{n-3}}{5^{n-1}}+1}{1-\dfrac{2^{n-3}}{5^{n-1}}} \\ &\implies \boxed{w_n=\dfrac{2^{n-2}+5^{n-1}}{5^{n-1}-2^{n-3}}} \end{align*}

    (c)

    Sn=v1+v2+..+vn=v1.1−(25)n−1+11−25=14.5n−2n5n35\begin{align*} S_n&=v_1+v_2+..+v_n \\ &=v_1.\dfrac{1-\left(\dfrac25\right)^{n-1+1}}{1-\dfrac25} \\ &=\dfrac14.\dfrac{\dfrac{5^n-2^n}{5^n}}{\dfrac35} \end{align*} Sn=51−n12(5n−2n)\boxed{S_n=\dfrac{5^{1-n}}{12}\left(5^n-2^n\right)}