📝 Exercices de la série▼
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Exercice 3

Soit (un)n(u_n)_n la suite définie par :

un=2nn+1u_n=\dfrac{2n}{n+1}

Etudier la monotonie de la suite (un)n(u_n)_n

Soit n∈Nn\in\N on a :

un+1−un=2(n+1)n+1+1−2nn+1=2(n+1)2−2n(n+2)(n+1)(n+2)=2(n+1)(n+2)\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{2(n+1)}{n+1+1}-\dfrac{2n}{n+1} \\ &=\dfrac{2(n+1)^2-2n(n+2)}{(n+1)(n+2)} \\ &=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)} \end{align*}

Donc (∀n∈N)  un+1−un>0(\forall n \in\N)~~u_{n+1}-u_n>0

et donc : la suite (un)(u_n) est strictement croissante.