📝 Exercices de la série▼
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Exercice 8

  1. Résoudre dans R\R l'équation : sin⁡x=−3\sin x=-3
  2. Résoudre dans ]−π,π]]-\pi,\pi] l'équation :    sin⁡x=12~~~\sin x=\frac12
  3. Résoudre dans R\R puis dans [0,2π[[0,2\pi[ l'équation :    sin⁡x=−22~~~\sin x=-\frac{\sqrt2}2

  1. De même que l'exercice 1 , l'équation sin⁡x=−3\sin x = -3 n'a pas de solution réelle

  2. Dans l'intervalle ]−π,π]]-\pi,\pi] on a :

    sin⁡x=12 eˊquivaut aˋ : sin⁡x=sin⁡π6x=π6 ou x=π−π6x=π6 ou x=5π6\begin{align*} \sin x=\frac12 \text{ équivaut à : }& \sin x = \sin\frac\pi6 \\ & x = \frac\pi6 \text{ ou }x=\pi-\frac\pi6 \\ & x = \frac\pi6 \text{ ou }x=\frac{5\pi}6 \end{align*}

    L'ensemble des solution de l'équation sin⁡x=12\sin x=\frac12 dans ]−π,π]]-\pi,\pi] est :

    S]−π,π]={π6; 5π6}S_{]-\pi,\pi]}=\left\{\frac{\pi}6;~\frac{5\pi}6\right\}
    • Dans R\R on a :
    sin⁡x=−22 eˊquivaut aˋ : sin⁡x=−sin⁡π4sin⁡x=sin⁡(−π4)x=−π4+2kπ ou x=π+π4+2kπavec k∈Zx=−π4+2kπ ou x=5π4+2kπ\begin{align*} \sin x=-\frac{\sqrt2}2 \text{ équivaut à : }& \sin x = -\sin{\frac\pi4} \\ & \sin x = \sin\left(-\frac\pi4\right) \\ & x = -\frac{\pi}4 +2k\pi\text{ ou }x=\pi+\frac{\pi}4+2k\pi \\ \text{avec } k\in\Z \\ & x = -\frac{\pi}4 +2k\pi\text{ ou }x=\frac{5\pi}4+2k\pi \\ \end{align*}

    L'ensemble des solution de l'équation sin⁡x=−22\sin x=-\frac{\sqrt2}2 dans R\R est :

    SR={−π4+2kπ   /k∈Z}∪{5π4+2kπ   /k∈Z}S_{\R}=\left\{-\frac{\pi}4+2k\pi~~~/k\in\Z\right\}\cup\left\{\frac{5\pi}4+2k\pi~~~/k\in\Z\right\}
    • Dans [0,2π[[0,2\pi[ on a :
    0≤−π4+2kπ<2π0≤−14+2k<214≤2k<9418≤k<980,125≤k<1,135\begin{align*} 0\le-\frac{\pi}4+2k\pi <2\pi \\ 0\le-\frac{1}4+2k <2 \\ \frac14\le 2k < \frac94 \\ \frac18\le k < \frac98 \\ 0,125\le k < 1,135 \end{align*}

    puisque k∈Zk\in\Z, alors k=1k=1

    et donc −π4+2kπ=−π4+2π=7π4-\frac{\pi}4+2k\pi=-\frac{\pi}4+2\pi=\frac{7\pi}4

    0≤5π4+2kπ<2π0≤54+2k<2−54≤2k<34−58≤k<38−0.625<k≤0.375\begin{align*} 0 \le \frac{5\pi}4+2k\pi < 2\pi \\ 0 \le \frac{5}4+2k < 2 \\ -\frac{5}4 \le 2k < \frac34 \\ -\frac58 \le k < \frac38 \\ -0.625< k \le 0.375 \end{align*}

    Donc k=0k=0 , donc 5π4+2kπ=5π4\frac{5\pi}4+2k\pi=\frac{5\pi}4

    et l'ensemble des solution de l'équation sin⁡x=−22\sin x=-\frac{\sqrt2}2 dans [0,2π[[0,2\pi[ est :

    S[0,2π[={5π4  ;  7π4}S_{[0,2\pi[}=\left\{\frac{5\pi}4~~;~~\frac{7\pi}4 \right\}