📝 Exercices de la série▼
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Exercice 12

Soit ABCABC un triangle tel que : B^=π3\widehat{B}=\dfrac\pi3 ; AB=2AB=\sqrt2 et AC=3AC=\sqrt3

Déterminer C^\widehat{C} et A^\widehat{A} puis BCBC, SS et RR

  • Pour C^\widehat{C}

    On a : sin⁡C^c=sin⁡B^b\dfrac{\sin \widehat{C}}{c} = \dfrac{\sin \widehat{B}}{b} équivaut à :

    sin⁡C^=cbsin⁡B^=23sin⁡π3\sin \widehat{C}=\dfrac cb \sin\widehat{B}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\sin\dfrac\pi3 sin⁡C^=2332=22\sin \widehat{C}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt2}2

    et donc C^=π4\widehat{C}=\dfrac\pi4

  • Pour A^\widehat{A}

    On sait que A^+B^+C^=π\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=\pi donc :

    A^=π−B^−C^=π−π3−π4=5π12\begin{align*} \widehat{A}&=\pi-\widehat{B}-\widehat{C}\\ &=\pi-\dfrac\pi3-\dfrac\pi4\\ &=\dfrac{5\pi}{12} \end{align*}

  • Pour BC=aBC=a

    On a asin⁡A^=bsin⁡B^\dfrac{a}{\sin \widehat{A}} = \dfrac{b}{\sin \widehat{B}} équivaut à :

    a=b×sin⁡A^sin⁡B^=3×sin⁡5π12sin⁡π3a=b \times \dfrac{\sin \widehat{A}}{\sin \widehat{B}}=\sqrt3\times \dfrac{\sin\dfrac{5\pi}{12}}{\sin\dfrac{\pi}{3}}

    avec une calculatrice : a≈1,93a\approx1,93

  • Pour SS

    On a : S=12bcsin⁡A^≈1,18S=\dfrac12 bc \sin\widehat{A} \approx 1,18

  • Pour RR

    bsin⁡B^=2R\dfrac{b}{\sin\widehat{B}}=2R donc R=b2sin⁡B^=32sin⁡π3=1R=\dfrac{b}{2\sin\widehat{B}}=\dfrac{\sqrt3}{2\sin\dfrac\pi3}=1