📝 Exercices de la série▼
Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice 5Exercice 6Exercice 7Exercice 8Exercice 9Exercice 10Exercice 11Exercice 12

Exercice 7

  1. Résoudre dans R\R l'équation : cos⁡x=2\cos x=2
  2. Résoudre dans ]−π,π]]-\pi,\pi] l'équation : 2cos⁡x−1=02\cos x-1=0
  3. Résoudre dans R\R puis dans ]−π,−π2]]-\pi,-\frac\pi{2}] l'équation : 2cos⁡x+3=02\cos x+\sqrt3=0

  1. On sait que : −1≤cos⁡x≤1-1 \leq \cos x \leq 1 pour tout x∈Rx\in\R

    Or, 2>12 > 1, ce qui signifie que l'équation cos⁡x=2\cos x = 2 n'a pas de solution réelle

    car cos⁡x\cos x ne peut jamais atteindre la valeur 2.

  2. Dans l'intervalle ]−π,π]]-\pi,\pi] on a :

    2cos⁡x−1=0 eˊquivaut aˋ : 2cos⁡x=1cos⁡x=12cos⁡x=cos⁡(π3)x=π3 ou x=−π3\begin{align*} 2\cos x-1=0 \text{ équivaut à : }& 2\cos x = 1 \\ & \cos x = \frac12 \\ & \cos x = \cos\left(\frac\pi3\right) \\ & x = \frac\pi3 \text{ ou }x=-\frac\pi3 \end{align*}

    L'ensemble des solution de l'équation 2cos⁡x−1=02\cos x-1=0 dans ]−π,π]]-\pi,\pi] est :

    S]−π,π]={−π3; π3}S_{]-\pi,\pi]}=\left\{-\frac\pi3;~\frac\pi3\right\}
    • Dans R\R on a :
    2cos⁡x+3=0 eˊquivaut aˋ : 2cos⁡x=−3cos⁡x=−32cos⁡x=−cos⁡(π6)cos⁡x=cos⁡(π−π6)cos⁡x=cos⁡(5π6)x=5π6+2kπ ou x=−5π6+2kπavec k∈Z\begin{align*} 2\cos x+\sqrt3=0 \text{ équivaut à : }& 2\cos x = -\sqrt3 \\ & \cos x = -\frac{\sqrt3}2 \\ & \cos x = -\cos\left(\frac\pi6\right) \\ & \cos x = \cos\left(\pi-\frac\pi6\right) \\ & \cos x = \cos\left(\frac{5\pi}6\right) \\ & x = \frac{5\pi}6 +2k\pi\text{ ou }x=-\frac{5\pi}6+2k\pi \\ \text{avec } k\in\Z \end{align*}

    L'ensemble des solution de l'équation 2cos⁡x+3=02\cos x+\sqrt3=0 dans R\R est :

    SR={−5π6+2kπ   /k∈Z}∪{5π6+2kπ   /k∈Z}S_{\R}=\left\{-\frac{5\pi}6+2k\pi~~~/k\in\Z\right\}\cup\left\{\frac{5\pi}6+2k\pi~~~/k\in\Z\right\}
    • Dans ]−π,−π2]]-\pi,-\frac\pi{2}] on a :
    −π<−5π6+2kπ≤−π2−1<−56+2k≤−12−16<2k≤13−112<k≤16−0,083<k≤0,16\begin{align*} -\pi<-\frac{5\pi}6+2k\pi \le -\frac\pi{2} \\ -1<-\frac{5}6+2k \le -\frac1{2} \\ -\frac16<2k \le \frac1{3} \\ -\frac1{12}< k \le \frac1{6} \\ -0,083< k \le 0,16 \end{align*}

    puisque k∈Zk\in\Z, alors k=0k=0 et donc −5π6+2kπ=−5π6-\frac{5\pi}6+2k\pi=-\frac{5\pi}6

    −π<5π6+2kπ≤−π2−1<56+2k≤−12−116<2k≤−43−1112<k≤−23−0,916<k≤−0,667\begin{align*} -\pi<\frac{5\pi}6+2k\pi \le -\frac\pi{2} \\ -1<\frac{5}6+2k \le -\frac1{2} \\ -\frac{11}{6}<2k \le -\frac4{3} \\ -\frac{11}{12}< k \le -\frac2{3} \\ -0,916< k \le -0,667 \end{align*}

    impossible de trouver k∈Zk\in\Z tel que : −0,916<k≤−0,667-0,916< k \le -0,667

    et l'ensemble des solution de l'équation 2cos⁡x+3=02\cos x+\sqrt3=0 dans ]−π,−π2]]-\pi,-\frac\pi{2}] est :

    S]−π,−π2]={−5π6}S_{]-\pi,-\frac\pi{2}]}=\left\{-\frac{5\pi}6\right\}