📝 Exercices de la série▼
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Exercice 6

  1. Écrire en fonction de cos⁡x\cos x ou sin⁡x\sin x :

    • cos⁡(9π2−x)\cos\left(\frac{9\pi}{2} - x\right)
    • sin⁡(133π2+x)\sin\left(\frac{133\pi}{2} + x\right)
    • sin⁡(133π−x)\sin\left(133\pi - x\right)

  2. Vérifier que : π5+4π5=π\frac{\pi}{5}+\frac{4\pi}{5}=\pi et 2π5+3π5=π\frac{2\pi}{5}+\frac{3\pi}{5}=\pi

  3. En déduire que

    cos(π5)+cos(2π5)+cos(3π5)+cos(4π5)=0 cos\left(\frac{\pi}5\right)+cos\left(\frac{2\pi}5\right)+cos\left(\frac{3\pi}5\right)+cos\left(\frac{4\pi}5\right)=0

  4. Simplifier

    A=cos(π−x)cos(π+x)−sin(π−x)sin(π+x)A=cos(\pi-x)cos(\pi+x)-sin(\pi-x)sin(\pi+x)

    • cos⁡(9π2−x)\cos\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) :
    9π2=4π+π2\frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} cos⁡(9π2−x)=cos⁡(4π+π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡x\begin{align*} \cos\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) &= \cos\left(4\pi + \frac{\pi}{2} - x\right) \\ &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ &= \sin x \end{align*}
    • sin⁡(133π2+x)\sin\left(\frac{133\pi}{2} + x\right) :
    133π2=66π+π2\frac{133\pi}{2} = 66\pi + \frac{\pi}{2} sin⁡(133π2+x)=sin⁡(66π+π2+x)=sin⁡(π2+x)=cos⁡x\begin{align*} \sin\left(\frac{133\pi}{2} + x\right) &= \sin\left(66\pi + \frac{\pi}{2} + x\right) \\ &= \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \\ &= \cos x \end{align*}
    • sin⁡(133π−x)\sin\left(133\pi - x\right) :
    sin⁡(133π−x)=sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin\left(133\pi - x\right) = \sin\left(\pi - x\right) = \sin x

  2. π5+4π5=π\frac{\pi}{5} + \frac{4\pi}{5} = \pi et 2π5+3π5=π\frac{2\pi}{5} + \frac{3\pi}{5} = \pi

    π5+4π5=5π5=π\frac{\pi}{5} + \frac{4\pi}{5} = \frac{5\pi}{5} = \pi 2π5+3π5=5π5=π\frac{2\pi}{5} + \frac{3\pi}{5} = \frac{5\pi}{5} = \pi

  3. Utilisons la somme des cosinus pour les angles de π\pi:

    cos⁡(π5)+cos⁡(4π5)=−cos⁡(2π5)−cos⁡(3π5)\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) = -\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) - \cos\left(\frac{3\pi}{5}\right)

    La somme des quatre cosinus est donc :

    cos⁡(π5)+cos⁡(2π5)+cos⁡(3π5)+cos⁡(4π5)=0\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{3\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) = 0

  4. Simplifier :

    A=cos⁡(π−x)cos⁡(π+x)−sin⁡(π−x)sin⁡(π+x)A = \cos(\pi - x) \cos(\pi + x) - \sin(\pi - x) \sin(\pi + x)

    Utilisons les identités trigonométriques :

    cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi - x) = -\cos x cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi + x) = -\cos x sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x sin⁡(π+x)=−sin⁡x\sin(\pi + x) = -\sin x

    Donc :

    A=(−cos⁡x)(−cos⁡x)−(sin⁡x)(−sin⁡x)A = (-\cos x)(-\cos x) - (\sin x)(-\sin x) A=cos⁡2x+sin⁡2xA = \cos^2 x + \sin^2 x A=1A = 1

    Donc, la simplification de AA est :

    A=1A = 1