📝 Exercices de la série▼
Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice 5Exercice 6Exercice 7Exercice 8Exercice 9Exercice 10Exercice 11Exercice 12

Exercice 10

  1. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : cos⁡x=2\cos x=2
  2. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : sin⁡x=−3\sin x=-3
  3. Résoudre dans R\R puis dans ]−π,π]]-\pi,\pi] l'équation :
(E) : 2cos⁡x=1(E)~:~2\cos x=1
  1. Résoudre dans R\R puis dans ]−π,3π]]-\pi,3\pi] l'équation :
(F) : 2sin⁡x−3=0(F)~:~2\sin x-\sqrt3=0

  1. On sait que −1≤cos⁡(x)≤1-1\le \cos(x)\le1 & Alors l'équation cos⁡x=2\cos x=2 n'a pas de solutions car 2>12>1

  2. On sait que −1≤sin⁡(x)≤1-1\le \sin(x)\le1 & Alors l'équation cos⁡x=2\cos x=2 n'a pas de solutions car −3<−1-3<-1

2cos⁡x=1 signifie que :    cos⁡x=12     signifie que :    cos⁡x=cos⁡π3     signifie que :    x=π3+2kπ ou x=−π3+2kπ avec k∈Z\begin{align*} &2\cos x=1 \text{ signifie que : }~~~\cos x=\frac12\\ &~~~~\text{ signifie que : }~~~\cos x=\cos\frac\pi3 \\ &~~~~\text{ signifie que : }~~~x=\frac\pi3+2k\pi \text{ ou }x=-\frac\pi3+2k\pi \\ &\text{ avec }k\in\Z \end{align*}

L'ensemble des solutions de l'équation (E)(E) dans R\R est :

SR={π3+2kπ  /  k∈Z}∪{−π3+2kπ  /  k∈Z}\fbox{$S_\R=\left\{\dfrac\pi3+2k\pi~~ / ~~ k\in\Z\right\}\cup\left\{-\dfrac\pi3+2k\pi~~ / ~~ k\in\Z\right\}$} −π<π3+2kπ≤π−1<13+2k≤1−1−13<2k≤1−13−43<2k≤23−23<k≤13 comme k∈Z, alors k=0x=π3+2×0×π\begin{align*} -\pi<\dfrac\pi3+2k\pi\le\pi \\ &-1<\dfrac13+2k\le1\\ &-1-\frac13<2k\le1-\frac13 \\ &-\frac43<2k\le\frac23 \\ &-\frac23<k\le\frac13 \\ &\text{ comme } k\in\Z \text{, alors } k=0 \\ &x=\frac\pi3+2\times0\times\pi \end{align*} x=π3\fbox{$x=\dfrac\pi3$} −π<−π3+2kπ≤π−1<−13+2k≤1−1+13<2k≤1+13−23<2k≤43−13<k≤23 Donc k=0x=−π3+2×0×π\begin{align*} & -\pi<-\dfrac\pi3+2k\pi\le\pi \\ & -1<-\dfrac13+2k\le1\\ & -1+\frac13<2k\le1+\frac13 \\ & -\frac23<2k\le\frac43 \\ & -\frac13<k\le\frac23 \\ & \text{ Donc } k=0 \\ & x=-\frac\pi3+2\times0\times\pi \end{align*} x=−π3\fbox{$x=-\dfrac\pi3$}

L'ensemble des solutions de l'équation (E)(E) dans ]−π,π]]-\pi,\pi] est :

S]−π,π]={−π3 ; π3}S_{]-\pi,\pi]}=\left\{-\frac\pi3~;~\frac\pi3\right\}
2sin⁡x−3=0 signifie que :  sin⁡x=32 signifie que :  sin⁡x=sin⁡π3 signifie que :   x=π3+2kπ ou x=π−π3+2kπ signifie que :   x=π3+2kπ ou x=2π3+2kπ avec k∈Z\begin{align*} &2\sin x-\sqrt3=0 \text{ signifie que : }~\sin x=\frac{\sqrt3}2\\ &\text{ signifie que : }~\sin x=\sin\frac\pi3 \\ &\text{ signifie que : }~~x=\frac\pi3+2k\pi \text{ ou }x=\pi-\frac\pi3+2k\pi \\ &\text{ signifie que : }~~x=\frac\pi3+2k\pi \text{ ou }x=\frac{2\pi}3+2k\pi \\ &\text{ avec }k\in\Z \end{align*}

L'ensemble des solutions de l'équation (F)(F) dans R\R est :

SR={π3+2kπ  /  k∈Z}∪{2π3+2kπ  /  k∈Z}\fbox{$S_\R=\left\{\frac\pi3+2k\pi~~ / ~~ k\in\Z\right\}\cup\left\{\frac{2\pi}3+2k\pi~~ / ~~ k\in\Z\right\}$} −π<π3+2kπ≤3π−23<k≤43 Donc k=0,  k=1x=π3 ou x=7π3\begin{align*} -\pi<\dfrac\pi3+2k\pi\le3\pi \\ -\dfrac23<k\le\dfrac43\\ \text{ Donc } k=0,~~k=1 \\ x=\frac\pi3\text{ ou }x=\frac{7\pi}3 \end{align*} −π<2π3+2kπ≤3π−56<k≤76 Donc k=0,  k=1x=2π3 ou x=8π3\begin{align*} -\pi<\dfrac{2\pi}3+2k\pi\le3\pi \\ -\dfrac56<k\le\dfrac76\\ \text{ Donc } k=0,~~k=1 \\ x=\frac{2\pi}3\text{ ou }x=\frac{8\pi}3 \end{align*}

L'ensemble des solutions de l'équation (F)(F) dans ]−π,3π]]-\pi,3\pi] est :

S]−π,3π]={π3 ;2π3;7π3;8π3}\fbox{$S_{]-\pi,3\pi]}=\left\{\frac\pi3~;\frac{2\pi}3;\frac{7\pi}3;\frac{8\pi}3\right\}$}