📝 Exercices de la série▼
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Exercice 9

  1. Vérifie que : (∀x∈R∗−{−1})(\forall x\in\R^*-\{-1\}) ; 1x(x+1)=1x−1x+1\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}
  2. En utilisant une intégration par parties, Calculer l'intégrale: ∫1eln⁡(x)(1+x)2dx\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{\ln(x)}{(1+x)^2}dx

1/

1x(x+1)=x+1−xx(x+1)=x+1x(x+1)−xx(x+1)=1x−1x+1\begin{align*} \dfrac{1}{x(x+1)}&=\dfrac{x+1-x}{x(x+1)}\\ &=\dfrac{x+1}{x(x+1)}-\dfrac{x}{x(x+1)}\\ &=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1} \end{align*}

2/ Itégration par parties

Posons : u′(x)=1(1+x)2u'(x)=\dfrac{1}{(1+x)^2} et v(x)=ln⁡xv(x)=\ln x

Donc : u(x)=−11+xu(x)=\dfrac{-1}{1+x} et v′(x)=1xv'(x)=\dfrac1x

On applique la formule d'intégration par parties :

∫u(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]−∫u′(x)v(x) dx\int u(x)v'(x)\,dx = \left[u(x)v(x)\right] - \int u'(x)v(x)\,dx

∙[u(x)v(x)]1e=[−ln⁡(x)1+x]1e=−ln⁡(e)1+e=−11+e\begin{aligned} \bullet\left[u(x)v(x)\right]_1^e & =\left[ -\frac{\ln(x)}{1+x} \right]_{1}^{e} \\ &=-\frac{\ln(e)}{1+e}=\frac{-1}{1+e} \end{aligned}

∙∫1eu′(x)v(x) dx=∫1e−1x(1+x)dx\displaystyle\bullet\int_1^e u'(x)v(x)\,dx =\int_{1}^{e} \frac{-1}{x(1+x)} dx

∙∫1e1x(1+x)dx=∫1e(1x−1x+1)dx=[ln⁡x−ln⁡(x+1)]1e=ln⁡(2ee+1)\begin{aligned} \bullet\int_{1}^{e} \frac{1}{x(1+x)} dx &= \int_{1}^{e} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) dx\\ &=\left[\ln x - \ln (x+1)\right]_{1}^{e}\\ &= \ln\left(\dfrac{2e}{e+1}\right) \end{aligned}

∫1eln⁡(x)(1+x)2 dx=[−ln⁡(x)1+x]1e−∫1e(−1x(1+x))dx\int_{1}^{e}\frac{\ln(x)}{(1+x)^2} \, dx = \left[ -\frac{\ln(x)}{1+x} \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \left( -\frac{1}{x(1+x)} \right) dx

On obtient donc :

∫1eln⁡(x)(1+x)2 dx=ln⁡(2ee+1)−11+e\begin{align*} \int_{1}^{e}\frac{\ln(x)}{(1+x)^2} \, dx =\ln\left( \frac{2e}{e+1} \right) - \frac{1}{1+e} \end{align*}