📝 Exercices de la série▼
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Exercice 7

  1. Calculer l'intégrale : ∫−30∣x2−x−2∣dx\displaystyle\int_{-3}^{0}|x^2-x-2|dx

  2. Soit ff la fonction définie par :

    {f(x)=227x+1x2si  1≤x≤3 f(x)=1xsi  x≥3\left\{\begin{array}{ll} f(x)=\dfrac{2}{27}x+\dfrac{1}{x^2} & \text{si } \ 1\le x\le 3 \\~\\ f(x)=\dfrac{1}{x} & \text{si } \ x\ge 3 \end{array} \right.

    Calculer l'intégrale : ∫14f(x)dx\displaystyle\int_{1}^{4}f(x)dx

1/

On veut calculer :

∫−30∣x2−x−2∣ dx.\int_{-3}^{0} |x^2 - x - 2|\,dx.

∙\bullet signe de x2−x−2x^2-x-2 sur [−3,0][-3,0]

on a : Δ=9\Delta=9

{x1=1+92=2x2=1−92=−1\begin{cases} x_1=\dfrac{1+\sqrt9}{2}=2\\ x_2=\dfrac{1-\sqrt9}{2}=-1\\ \end{cases}

entre les racines signe de −a=−1-a=-1

x−3−10x2−x−2+0−\begin{array}{c|cccccc} x & -3 & & -1 & & 0\\\hline x^2-x-2 & & + & 0 & -& \end{array}

Donc :

∫−30∣f(x)∣ dx=∫−3−1f(x) dx−∫−10f(x) dx.\int_{-3}^{0} |f(x)|\,dx = \int_{-3}^{-1} f(x)\,dx - \int_{-1}^{0} f(x)\,dx.

Primitive de x↦x2−x−2x\mapsto x^2-x-2:

F:x↦x33−x22−2x.F:x\mapsto \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x.

Les calculs :

∫−3−1f(x) dx=F(−1)−F(−3)=76+152=263\begin{align*} \int_{-3}^{-1} f(x)\,dx &= F(-1) - F(-3) \\ &= \frac{7}{6} + \frac{15}{2} = \frac{26}{3} \end{align*} ∫−10f(x) dx=F(0)−F(−1)=0−76=−76\begin{align*} \int_{-1}^{0} f(x)\,dx &= F(0) - F(-1) \\ &= 0 - \frac{7}{6} = -\frac{7}{6} \end{align*}

Donc :

∫−30∣x2−x−2∣ dx=263+76=596.\int_{-3}^{0} |x^2 - x - 2|\,dx = \frac{26}{3} + \frac{7}{6} = \frac{59}{6}. ∫−30∣x2−x−2∣ dx=596\boxed{\int_{-3}^{0} |x^2 - x - 2|\,dx=\frac{59}{6}}

2/

On a :

f(x)={227x+1x2si 1≤x≤31xsi x≥3f(x) = \begin{cases} \dfrac{2}{27}x + \dfrac{1}{x^2} & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ \dfrac{1}{x} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}

On calcule :

∫14f(x) dx=∫13f(x)dx+∫34f(x)dx\int_1^4 f(x)\,dx = \int_1^3 f(x) dx + \int_3^4 f(x) dx ∫13f(x) dx=∫13(227x+1x2)dx=[x227−1x]13=2627\begin{align*} \int_1^3 f(x)\,dx &=\int_1^3 \left( \frac{2}{27}x + \frac{1}{x^2} \right) dx\\ &=\left[\frac{x^2}{27}-\frac1x\right]_1^3=\dfrac{26}{27} \end{align*} ∫34f(x) dx=∫341x dx=[ln⁡x]34=ln⁡4−ln⁡3\begin{align*} \int_3^4 f(x)\,dx &=\int_3^4 \frac{1}{x}\,dx \\ &=\left[\ln x\right]_3^4=\ln4-\ln3 \end{align*}

Donc :

∫14f(x) dx=2627+ln⁡(43)\boxed{\int_1^4 f(x)\,dx = \frac{26}{27} + \ln\left(\frac{4}{3}\right)}