$$f(x) = x^2 - 2x e^x + 2e^x \quad \text{pour tout } x \in \R$$

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1/

On cherche à calculer :

$$\int_0^1 x e^x \, dx$$

Posons :

• $u(x) = x \Rightarrow u'(x) = 1$
• $v'(x) = e^x \Rightarrow v(x) = e^x$

D'après la formule d’intégration par parties :

$$\int u v' = u v - \int u' v$$

On obtient :

$$\begin{align*} \int_0^1 x e^x \, dx &= \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx \\ &= (1 \cdot e^1 - 0) - (e^1 - 1) \\ &= e - (e - 1) \\ &= \boxed{1} \end{align*}$$

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2/ Calcul de $\mathcal{A}$ l'aire du domaine délimité entre la courbe $(C)$ et l'axe des abscisses sur l'intervalle $[0,1]$

on sait que : $\displaystyle\mathcal{A}=\int_0^1 |f(x)| \, dx~\text{unité}$

et

• $unité=\|\vec{i}\|.\|\vec{j}\|=1\text{cm}^2$
• $|f(x)|=f(x)$ sur $[0,1]$ car la courbe $(C)$ est située au dessus de l'axe des abscisses sur $[0,1]$

On a :

$$\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 \left(x^2 - 2x e^x + 2 e^x\right) dx$$

On a :

• $\displaystyle \int_0^1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}$
• $\displaystyle \int_0^1 x e^x dx = 1$ (voir question 1)
• $\displaystyle \int_0^1 e^x dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e - 1$

Donc :

$$\begin{align*} \int_0^1 f(x) \, dx &= \frac{1}{3} - 2 \cdot 1 + 2(e - 1) \\ &= \frac{1}{3} - 2 + 2e - 2 \\ &= 2e - \frac{11}{3} \end{align*}$$

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Aire du domaine hachuré

$$\boxed{ \mathcal{A} = \left(2e - \frac{11}{3}\right)\text{cm}^2 }$$