📝 Exercices de la série▼
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Exercice 4

En utilisant une intégration par parties calculer :

I=∫0πx.sin(x)dxI=\int_{0}^{\pi}x.sin(x)dx J=∫1eln(x)dxJ=\int_{1}^{e}ln(x)dx K=∫01(x−1)e−xdxK=\int_{0}^{1}(x-1)e^{-x}dx
  • Calcul de II :
I=∫0πxsin⁡(x) dx Choisissons u=x et v′=sin⁡(x)  ⟹  u′=1,v=−cos⁡(x) I=[−xcos⁡(x)]0π+∫0πcos⁡(x) dx=[−πcos⁡(π)+0cos⁡(0)]+[sin⁡(x)]0π=π+(0−0)=π\begin{align*} I &= \int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx \\~\\ &\text{Choisissons } u = x \text{ et } v' = \sin(x) \\ &\implies u' = 1, \quad v = -\cos(x) \\~\\ I&= \left[ -x \cos(x) \right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx \\ &= [-\pi \cos(\pi) + 0 \cos(0)] + [\sin(x)]_{0}^{\pi} \\ &= \pi + (0 - 0) \\ &= \pi \end{align*}
  • Calcul de JJ :
J=∫1eln⁡(x) dx Choisissons u=ln⁡(x) et v′=1  ⟹  u′=1x,v=x J=[xln⁡(x)]1e−∫1ex⋅1x dx=[eln⁡(e)−1ln⁡(1)]−[x]1e=e−0−(e−1)=1\begin{align*} J &= \int_{1}^{e} \ln(x) \, dx \\~\\ &\text{Choisissons } u = \ln(x) \text{ et } v' = 1 \\ &\implies u' = \frac{1}{x} , \quad v = x \\~\\ J&= \left[ x \ln(x) \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ &= [e \ln(e) - 1 \ln(1)] - [x]_{1}^{e} \\ &= e - 0 - (e - 1) \\ &= 1 \end{align*}
  • Calcul de KK :
K=∫01(x−1)e−x dx Choisissons u=x−1 et v′=e−x  ⟹  u′=1,v=−e−x =[(x−1)(−e−x)]01+∫01(−e−x) dx=[−e−1+e−0]+[−e−x]01=[−e−1+1]−(−e−1+1)=1+e−1\begin{align*} K &= \int_{0}^{1} (x-1) e^{-x} \, dx \\~\\ &\text{Choisissons } u = x-1 \text{ et } v' = e^{-x} \\ &\implies u' = 1, \quad v = -e^{-x} \\~\\ &= \left[ (x-1)(-e^{-x}) \right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} (-e^{-x}) \, dx \\ &= [-e^{-1} + e^{-0}] + \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{1} \\ &= [-e^{-1} + 1] - (-e^{-1} + 1) \\ &= 1 + e^{-1} \end{align*}