On considère la suite numérique $(u_n)_{n\in\N^*}$ définie par :

$$u_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1 + t} \, dt \quad ; \quad \forall n \in \N^*$$

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1/

On remarque que sur l’intervalle $[0;1]$, on a pour tout $t$ :

• $1 + t \in [1,2]$ donc : $\dfrac{1}{1 + t} \in [\frac{1}{2}, 1]$

Ainsi, pour tout $t \in [0,1]$ :

$$\frac{1}{2} \le \frac{1}{1+t} \le 1$$

En multipliant membre à membre par $t^n \ge 0$, on obtient :

$$\frac{1}{2} t^n \le \frac{t^n}{1+t} \le t^n$$

Donc :

$$\boxed{\forall n \in \N^*, \ \forall t \in [0,1], \quad \frac{1}{2} t^n \le \frac{t^n}{1 + t} \le t^n}$$

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2/ Encadrement de $u_n$ et limite

On intègre l'inégalité membre à membre sur $[0;1]$ :

$$\int_0^1 \frac{1}{2} t^n \, dt \le u_n \le \int_0^1 t^n \, dt$$

Or :

• $\displaystyle \int_0^1 t^n \, dt = \frac{1}{n+1}$
• $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{2} t^n \, dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{1}{2(n+1)}$

Donc :

$$\boxed{ \frac{1}{2(n+1)} \le u_n \le \frac{1}{n+1} }$$

Et comme $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0$, on peut conclure par le théorème d'encadrement :

$$\boxed{ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 }$$