$$f(x) = \ln(x) \quad \text{et} \quad g(x) = \ln^2(x)$$

On pose :

$$I = \int_1^e \ln(x) \, dx \quad \text{et} \quad J = \int_1^e \ln^2(x) \, dx$$

1/a/ $H:x\mapsto x = x \ln(x) - x$ est une primitive de $f$ sur $]0; +\infty[$

• $H$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ par produit;

$$\begin{align*} H'(x)&=x'\ln x +x(\ln x)'-1\\ &=\ln x+x\times\frac1x-1\\ &=\ln x=f(x) \end{align*}$$

Donc $H$ est bien une primitive de $f$ sur $]0; +\infty[$.

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b/ $I = 1$ ?

$$\begin{align*} \int_1^e \ln(x) \, dx &= \int_1^e f(x) \, dx \\ &=H(e)-H(1)\\ &=e\ln(e)-e-1\ln1+1\\ &=1 \end{align*}$$

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2/a/ intégration par parties : $J = e - 2I$

$$J=\int_{1}^{e}ln^2(x)dx$$

Posons :

• $u(x) = \ln(x)$ et $v'(x) = \ln(x)$
• Donc : $u'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $v(x) = x \ln(x) - x$

Pour appliquer l'intégration par parties, utilisons la formule :

$$\int u v' = u v - \int u' v$$ $$\begin{align*} J&=[\ln x(x\ln x -x)]_1^e-\int_1^e\dfrac{1}{x}(x\ln x -x)\ dx\\ &=1(e-e)-\int_1^e \ln x - 1 dx\\ &=\int_1^e 1 dx - \int_1^e \ln x dx \\ &=e-1-I\\ &=e-2I \end{align*}$$

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b/ La valeur de $J$

On a déjà montré que $I = 1$. Donc, en utilisant $J = e - 2I$ :

$$J = e - 2 \times 1 = e - 2$$

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3/

L'aire du domaine hachuré est est donnée par

$$\mathcal{A}=\int_1^e|f(x)-g(x)|dx\ \text{unité}$$

• $\text{unité}=\|\vec{i}\|\times\|\vec{j}\|=4cm^2$
• et puisque la courbe $(C_f)$ est située au dessus de la courbe $(C_g)$ sur l'intervalle $[1,e]$ alors $|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)$

$$\mathcal{A}=4\int_1^e f(x)-g(x)dx \ \text{cm}^2$$

et on a :

$$\int_1^e f(x)-g(x)dx=I-J=1-(e-2)=3-e$$

Alors

$$\mathcal{A}=4(3-e)\text{cm}^2$$