📝 Exercices de la série▼
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Exercice 6

  1. Montrer que la fonction H:x↦x−ln(1+ex)H:x\mapsto x-ln(1+e^x) est une fonction primitive de la fonction h:x↦11+ex  sur  Rh:x\mapsto \dfrac{1}{1+e^x} ~~sur ~~ \R
  2. En déduire que : ∫0ln(2)11+exdx=ln(4)−ln(3)\displaystyle\int_{0}^{ln(2)}\dfrac{1}{1+e^x}dx=ln(4)-ln(3)

1/

on a 1+ex>01+e^x>0 pour tout x∈Rx\in\R donc on a HH est dérivable sur R\R par somme et composée.

et on a :

H′(x)=1−(1+ex)′1+ex=1+ex−ex1+ex=11+ex=h(x)\begin{align*} H'(x)&=1-\dfrac{(1+e^x)'}{1+e^x}\\ &=\dfrac{1+e^x-e^x}{1+e^x}\\ &=\dfrac{1}{1+e^x}=h(x) \end{align*}

Donc HH est une fonction primitive de hh sur R\R

2/

∫0ln(2)11+exdx=∫0ln(2)h(x)dx=[H(x)]0ln⁡2=H(ln⁡2)−H(0)=ln⁡2−ln⁡(1+2)−(0−ln⁡(2))=2ln⁡2−ln⁡3=ln⁡(22)−ln⁡3 =ln⁡4−ln⁡3\begin{align*} \int_{0}^{ln(2)}\dfrac{1}{1+e^x}dx &=\int_{0}^{ln(2)}h(x)dx\\ &=\left[H(x)\right]_0^{\ln 2}\\ &=H(\ln 2)-H(0)\\ &=\ln 2 - \ln(1+2)-(0-\ln(2))\\ &=2\ln2-\ln3=\ln(2^2)-\ln3\\\ &=\ln4-\ln3 \end{align*}