1/

Rappel : $f$ fonction définir sur un intervalle $I$ ;

On dit que la fonction $F$ est une fonction primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ si :

• $F$ est dérivable sur $I$
• $(\forall x\in I) ~~;~~ F'(x)=f(x)$

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$$(u^n)'=nu'.u^{n-1}$$

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$$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$$

ici on a :

• $H$ es dérivable sur $]0;+\infty[$ par produit;
• Pour tout $x\in]0;+\infty[$ on a :

$$\begin{align*} H'(x)&=\dfrac12\times2(\ln'x)\times\left(\ln x\right)^{2-1}\\&=\dfrac{\ln x}x=h(x) \end{align*}$$

donc $H$ est une primitive de $h$ sur $]0;+\infty[$

2/

$$\begin{align*} \int_{1}^{e}\frac{\ln(x)}{x}dx &=\int_{1}^{e}h(x)dx\\ &=H(e)-H(1)\\&=1 \end{align*}$$

3/ $\quad \int_1^e \ln(x) \, dx$ ?

La formule de l'intégration par parties :

$$\int_a^b u(x)v'(x) dx = [uv(x)]_a^b - \int_a^b u'(x) dx$$

On choisit :

• $u(x) = \ln(x)$, donc $u'(x) = \frac{1}{x} \, dx$,
• $v'(x) =1$, donc $v(x) = x$.

Appliquons la formule d'intégration par parties :

$$\begin{align*} \int_1^e \ln(x) \, dx &= \left[ x \ln(x) \right]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} \, dx.\\ &=e\ln e -0-\left[ x \right]_1^e \\ &=e-(e-1)=1 \end{align*}$$