📝 Exercices de la série▼
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Exercice 3

  1. Montrer que 1e≤∫01e−x2dx≤1\displaystyle\frac1e\le\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx\le1

  2. Démontrer que : 94≤∫09dt1+t≤9\displaystyle\frac94\le \int_{0}^{9} \frac{dt}{1+\sqrt t}\le 9

1/

0≤x≤1  ⟹  0≤x2≤1  ⟹  −1≤−x2≤0\begin{align*} 0\le x\le 1 &\implies 0\le x^2\le 1\\ &\implies -1\le -x^2\le 0 \end{align*}

et puisque la fonction x↦exx\mapsto e^x est croissante alors :

e−1≤e−x2≤e0e^{-1}\le e^{-x^2}\le e^0

Donc

∫01e−1dx≤∫01e−x2dx≤∫01e0dx\int_{0}^{1}e^{-1}dx \le \int_{0}^{1}e^{-x^2}dx \le \int_{0}^{1}e^0dx e−1∫011dx≤∫01e−x2dx≤∫011dxe^{-1}\int_{0}^{1} 1dx \le \int_{0}^{1}e^{-x^2}dx \le \int_{0}^{1}1dx

et on a : ∫011dx=[x]01=1\displaystyle\int_{0}^{1} 1dx=[x]^1_0=1

Alors

1e≤∫01e−x2dx≤1\frac1e\le\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx\le1

2/

pour 0≤t≤90\le t \le 9 on a :

14≤11+t≤1\dfrac14\le \dfrac1{1+\sqrt t}\le 1 ∫0914dt≤∫09dt1+t≤∫091dt\int_0^9\dfrac14dt\le \int_0^9\dfrac{dt}{1+\sqrt t}\le \int_0^91dt

or

∫0914dt=[14t]09=94\int_0^9\dfrac14dt=\left[\dfrac14t\right]_0^9=\dfrac94

et

∫091dt=[t]09=9\int_0^9 1 dt=\left[t\right]_0^9=9

Alors :

94≤∫09dt1+t≤9\dfrac94\le \int_0^9\dfrac{dt}{1+\sqrt t}\le 9