Continuité d'une fonction numérique

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

(Puissance rationnelle d’un nombre réel positif)

Ecrire les nombres suivants sous la forme $x^r$ avec $r\in\mathbb{Q}$ :
$(\sqrt[9]{5})^3 ~~~ ;; ~~~ (\sqrt[3]{7})^{-4} ~~~ \text{ et } ~~~ (\sqrt[4]{13})^{12}$
Simplifier : $A=(2^{\frac{-1}{3}})^5\times (4^{\frac{-1}{2}})\times (8^{\frac{2}{3}})$
Résoudre dans $\R$ : $\left(2x-1\right)^{\frac{2}{3}}=16$

Correction

\begin{align*} A &=(2^{\frac{-1}{3}})^5\times (4^{\frac{-1}{2}})\times (8^{\frac{2}{3}}) \\ &=2^{\frac{-5}{3}}\times\left(2^2\right)^{\frac{-1}{2}}\times \left(2^3\right)^{\frac{2}{3}} \\ &=\left(2\right)^{\frac{-5}{2}-1+2} \\ &=2^{\frac{-3}{2}} \end{align*}

Résoudrons l’équa : $\left(2x-1\right)^{\frac{2}{3}}=16$

L’équation est bien définie si $2x-1\ge0 \iff x\ge\frac12$

Soit $x\in[\frac12; \ +\infty[$

\begin{align*} \left(2x-1\right)^{\frac{2}{3}}=16 &\iff \left(\left(2x-1\right)^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}=16^{\frac{3}{2}} \\ \iff 2x-1=\left(4^2\right)^\frac{3}{2} \\ &\iff 2x=4^3+1 \\ &\iff x=\frac{65}{2} \end{align*}

et comme $\frac{65}{2}\in[\frac12; \ +\infty[$

Alors : $\frac{65}{2}$ est la solution de l’équation