تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Continuité d'une fonction numérique

Exercice 8

(Fonction niéme)

  1. Simplifier : a=273   ;   b=164   ;   c=2435a=\sqrt[3]{27}~~~ ; ~~~b=\sqrt[4]{16}~~~ ; ~~~c=\sqrt[5]{243}
d=3515×93×(95)235d=\dfrac{\sqrt[15]{3^5}\times \sqrt[3]{9}\times \left(\sqrt[5]{9}\right)^2}{\sqrt[5]{3}}
  1. Rendre rationnel les dominateurs suivants :
a=133−23 et b=223+1a=\frac{1}{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}} \text{ et } b=\frac{2}{\sqrt[3]{2}+1}
  1. Résoudre dans R\R les équations suivantes :
(E)  2x−43=2   ;   (F)  (1−x33−x3)3=343(E) ~~ \sqrt[3]{2x-4}=2 ~~~;~~~(F) ~~ \left(\frac{1-\sqrt[3]{x}}{3-\sqrt[3]{x}}\right)^3=343
  1. Résoudre dans R\R l’inéquation suivante :
x−35≤2\sqrt[5]{x-3}\le 2
  1. Calculer les limites :
lim⁡x→+∞x+13−x3   et   lim⁡x→+∞x+13−1x\lim\limits_{x\to +\infty} \sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x} ~~ \text{ et } ~~ \lim\limits_{x\to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}

Correction

1.

  • a=273=333=3a=\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3

  • b=164=244=2b=\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=2

  • c=2435=355=3c=\sqrt[5]{243}=\sqrt[5]{3^5}=3

d=3515×93×(95)235=33×93×34535=3×93×3435=333335=3275\begin{align*} d &=\frac{\sqrt[15]{3^5}\times \sqrt[3]{9}\times \left(\sqrt[5]{9}\right)^2}{\sqrt[5]{3}} \\ &=\frac{\sqrt[3]{3}\times \sqrt[3]{9}\times \sqrt[5]{3^4}}{\sqrt[5]{3}} \\ &=\sqrt[3]{3\times9} \times \sqrt[5]{\frac{3^4}{3}} \\ &=\sqrt[3]{3^3}\sqrt[5]{3^3}\\ &=3\sqrt[5]{27} \end{align*}
2.

rappelle :

  • a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
  • a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a=133−23 =332+3323+232(33−23)(332+3323+232) =93+63+43333−233 =93+63+43\begin{align*} a &=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}} \\~\\ &=\dfrac{\sqrt[3]{3}^2+\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2}^2}{\left(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{3}^2+\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2}^2\right)} \\~\\ &=\dfrac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{3}^3-\sqrt[3]{2}^3}\\~\\ &=\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4} \end{align*}
b=223+1 =2(232−23×1+12)(23+1)(232−23×1+12) =2(43−23+1)233+13 =2(43−23+1)3\begin{align*} b&=\dfrac{2}{\sqrt[3]{2}+1} \\~\\ &=\dfrac{2\left(\sqrt[3]{2}^2-\sqrt[3]{2}\times1+1^2\right)}{\left(\sqrt[3]{2}+1\right)\left(\sqrt[3]{2}^2-\sqrt[3]{2}\times1+1^2\right)}\\~\\ &=\dfrac{2\left(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1\right)}{\sqrt[3]{2}^3+1^3}\\~\\ &=\dfrac{2\left(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1\right)}{3} \end{align*}
3.
  • (E)  2x−43=2(E) ~~ \sqrt[3]{2x-4}=2

l’équation est bien définie si 2x−4≥02x-4\ge0

2x−4≥0  ⟺  x≥22x-4\ge0 \iff x\ge2

Soit x∈[2; +∞[x\in[2; \ +\infty[

2x−43=2  ⟺  2x−433=23  ⟺  2x−4=8  ⟺  x=6\begin{align*} \sqrt[3]{2x-4} = 2 &\iff \sqrt[3]{2x-4}^3=2^3 \\ &\iff 2x-4=8 \\ &\iff x=6 \end{align*}

Comme 6∈[2; +∞[6\in[2; \ +\infty[ alors 66 est la solution de cette équation

  • (F) : (1−x33−x3)3=343(F) ~:~ \left(\dfrac{1-\sqrt[3]{x}}{3-\sqrt[3]{x}}\right)^3=343

L’équation (F)(F) est bien définie si :

x≥0 et 3−x3≠0x\ge0 \text{ et } 3-\sqrt[3]{x}\ne0
3−x3=0  ⟺  x3=3  ⟺  x=33=273-\sqrt[3]{x}=0 \iff \sqrt[3]{x}=3 \iff x=3^3=27

Soit x∈[0,3[∪]3;+∞[x\in[0,3[\cup]3;+\infty[

(F)  ⟺  (1−x33−x3)3=343  ⟺  (1−x33−x3)3=73  ⟺  1−x33−x3=7  ⟺  1−x3=7(3−x3)  ⟺  6x3=20  ⟺  x3=103  ⟺  x=100027\begin{align*} (F) &\iff \left(\dfrac{1-\sqrt[3]{x}}{3-\sqrt[3]{x}}\right)^3=343 \\ &\iff \left(\dfrac{1-\sqrt[3]{x}}{3-\sqrt[3]{x}}\right)^3=7^3 \\ &\iff \dfrac{1-\sqrt[3]{x}}{3-\sqrt[3]{x}}=7 \\ &\iff 1-\sqrt[3]{x}=7(3-\sqrt[3]{x})\\ &\iff 6\sqrt[3]{x}=20 \\ &\iff \sqrt[3]{x}=\frac{10}3 \\ &\iff x= \dfrac{1000}{27} \end{align*}

Comme 100027∈[0,3[∪]3;+∞[\dfrac{1000}{27}\in[0,3[\cup]3;+\infty[

Alors l’équation (F)(F) admet une unique solution x=100027x=\dfrac{1000}{27}

4.

l’inéquation x−35≤2\sqrt[5]{x-3}\le 2 est bien définie si x−3≥0x-3\ge0

x−3≥0  ⟺  x≥3x-3\ge0 \iff x\ge3

Soit x∈[3; +∞[x\in[3; \ +\infty[

x−35≤2  ⟺  x−355≤25  ⟺  x−3≤32  ⟺  x≤35  ⟹  x∈]−∞; 35]\begin{align*} \sqrt[5]{x-3}\le 2 &\iff \sqrt[5]{x-3}^5\le 2^5 \\ &\iff x-3\le 32 \\ &\iff x\le35 \\ &\implies x\in]-\infty; \ 35] \end{align*}

et on a : x∈[3; +∞[x\in[3; \ +\infty[

Donc l’ensemble des solutions de l’inéquation est :

S=]−∞; 35]∩[3; +∞[=[3;35]S=]-\infty; \ 35]\cap [3; \ +\infty[=[3; 35]
5.

rappel :

  • (a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3
  • (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3
lim⁡x→+∞x+13−x3=lim⁡x→+∞(x+13−x3)(x+132+x+13x3+x32)x+132+x+13x3+x32=lim⁡x→+∞x+133−x33(x+1)23+x(x+1)3+x23=lim⁡x→+∞1(x+1)23+x(x+1)3+x23=0\begin{align*} &\lim\limits_{x\to +\infty} \sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}\\ &=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\left(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}\right)\left(\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x}^2\right)}{\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x}^2} \\ &=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}^3-\sqrt[3]{x}^3}{\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x(x+1)}+\sqrt[3]{x^2}} \\ &=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x(x+1)}+\sqrt[3]{x^2}} \\ &=0 \end{align*}

car :

lim⁡x→+∞(x+1)23=∞\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt[3]{(x+1)^2}=\infty
lim⁡x→+∞x(x+1)3=+∞\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt[3]{x(x+1)}=+\infty
lim⁡x→+∞x23=+∞\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt[3]{x^2}=+\infty
lim⁡x→+∞x+13−1x=lim⁡x→+∞(x+13−1)(x+132+x+13+1)x(x+132+x+13+1)=lim⁡x→+∞x+133−13x((x+1)23+x+13+1)=lim⁡x→+∞1(x+1)23+x+13+1=0\begin{align*} &\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}\\ &=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\left(\sqrt[3]{x+1}-1\right)\left(\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}+1\right)}{x\left(\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}+1\right)}\\ &=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}^3-1^3}{x\left(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1\right)} \\ &=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1} \\ &=0 \end{align*}

car lim⁡x→+∞x+13=lim⁡x→+∞(x+1)23=+∞\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt[3]{x+1}=\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt[3]{(x+1)^2}=+\infty