Continuité d'une fonction numérique | نون الرياضيات

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Continuité d'une fonction numérique

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On dit que une fonction $f$ est continue au point $x_0$ si

\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{f\left(x\right)=f(x_0)}}

Exercice 1

étudier la continuité des fonctions $f$ et $g$ au point $x_0$ :

$\left\{\begin{array}{ll}f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} & \text{si } \ x\ne1 \\f(1)=2 & \end{array}\right. ~~~~$ et $x_0=1$
$\left\{\begin{array}{ll}g(x)=\frac{sin(x)}{2x} & \text{si } \ x\ne0 \\g(0)=1 & \end{array}\right. ~~~~$ et $x_0=0$

Correction

Correction

On a
$\begin{align*} \lim\limits_{x\to 1 }{f\left(x\right)} &=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1} \\ &=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \\ &=\lim\limits_{x\to 1} x+1 \\ &=1+1 \\ &=2 \end{align*}$
et on a : $f(1)=2$

Donc $\lim\limits_{x\rightarrow1\ }\ f\left(x\right)=f(1)$

Et par suite : la fonction $f$ est continue en $1$
On a
$\begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow0\ }{g\left(x\right)} &=\lim\limits_{x\rightarrow0\ }\frac{\sin{\left(x\right)}}{2x} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow0\ }\frac{1}{2}\frac{\sin{\left(x\right)}}{x} \\ &=\frac{1}{2}\times1 \\ &=\frac{1}{2} \end{align*}$
et on a $g(0)=1$

Donc $\lim\limits_{x\rightarrow0\ }\ g\left(x\right)\neq g(0)$

Et par suite : la fonction $g$ n’est pas continue en $0$