تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Continuité d'une fonction numérique

Exercice 7

(Méthode de dichotomie)

Considèrons la fonction ff définie par : f(x)=x2−10f(x)=x^2-10

  1. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution α\alpha dans [2, 4][2, \ 4]
  2. Donner un encadrement de α\alpha d’amplitude 0,250,25
  3. En déduire que : 3<10<1343<\sqrt{10}<\frac{13}{4}

Correction

1.

  • La fonction ff est continue sur [2,4][2,4]

    Car fonction polynômiale

  • f(2)=22−10=−6 et f(4)=42−10=6f\left(2\right)=2^2-10=-6 \ et \ f\left(4\right)=4^2-10=6

    f(2)×f(4)<0f\left(2\right)\times f\left(4\right)<0

    Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires

    L’équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet au moins une solution α∈]2,4[\alpha\in]2,4[

  • La fonction ff est dérivable sur R\mathbb{R}

    f′(x)=2x    ;∀x∈Rf^\prime\left(x\right)=2x\ \ \ \ ;\forall x\in\mathbb{R}

    f′(x)=0  ⇔  x=0f^\prime\left(x\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0

    2≤x≤4⇔   4≤f′(x)≤82\le x\le4\Leftrightarrow\ \ \ 4\le f^\prime\left(x\right)\le8

    Donc ∀x∈]2,  4[  :  f′(x)>0\forall x\in\left]2,\ \ 4\right[\ \ : \ \ f'(x)>0

    Et donc la fonction ff est strictement croissante sur ]2, 4[\left]2,\ 4 \right[

    D’où α\alpha est unique

2.

2≤α≤42\le\alpha\le4

donc l’amplitude de cet encadrement est : 4−2=24-2=2

  • 2+42=3  ;  f(3)=32−10=−10\frac{2+4}{2}=3 ~~;~~ f\left(3\right)=3^2-10=-10
2 f (2) < 0 3 f (3) < 0 4 f (4) > 0

Donc α∈]3,  4[\alpha\in\left]3,\ \ 4\right[ d’amplitude : 4−3=14-3=1

  • 3+42=72  ,  f(72)=(72)2−10=49−104=394\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2} ~~ ,~~ f\left(\frac{7}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}\right)^2-10=\frac{49-10}{4}=\frac{39}{4}
3 f (3) < 0 7 2 f ( ) > 0 7 2 4 f (4) > 0

Donc α∈]3,  72[\alpha\in\left]3,\ \ \frac{7}{2}\right[ d’amplitude : 72−3=3,5−3=0,5\frac{7}{2}-3=3,5-3=0,5

  • 3+722=134  ,  f(134)=(134)2−10=169−1016=15916\frac{3+\frac{7}{2}}{2}=\frac{13}{4}~~ ,~~ f\left(\frac{13}{4}\right)=\left(\frac{13}{4}\right)^2-10=\frac{169-10}{16}=\frac{159}{16}
3 f (3) < 0 13 4 f ( ) > 0 13 4 7 2 f ( ) > 0 7 2

Donc α∈]3,  134[\alpha\in\left]3,\ \ \frac{13}{4}\right[ d’amplitude : 134−3=3,25−3=0,25\frac{13}{4}-3=3,25-3=0,25

C’est terminer.

3.

On a f(x)=0⇔x2−10=0⇔x=±10f\left(x\right)=0\Leftrightarrow x^2-10=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{10}

on a α\alpha est la solution de l’équation dans [2,4][2,4]

donc α>0\alpha>0

Donc α=10\alpha=\sqrt{10}

Et donc 3<10 <1343<\sqrt{10}\ <\frac{13}{4}