Correction

• La fonction $f \ : \ x\mapsto\ x^3+3x^2-4x+7$ est continue sur $\mathbb{R}$ parce qu’elle est une fonction polynômiale.

• La fonction $f \ : \ \ x\mapsto\frac{x^2+x+1}{x-2}$ est continue sur $]2 ; +\infty[$ parce qu’elle est une fonction rationnelle et $]2 ; +\infty[\subset\mathbb{R}-\left\{-2\right\}$

• La fonction $f\ :\ \ x\mapsto\ 3x^4+x^2+1+\sqrt x$ est continue sur $[0\ ;\ +\infty[$ en tant que somme de deux fonctions continues sur $[0;\ \ +\infty[$ qui sont $x\mapsto\ 3x^4+x^2+1$ et $x\mapsto\ \sqrt x$

• La fonction $f\ : \ x\mapsto\left(x^2+1\right)\sin{\left(x\right)}$ est continue sur $\mathbb{R}$ en tant que produit de deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$ qui sont $x\mapsto\ x^2+1$ et $x\mapsto\sin{\left(x\right)}$

• $f(x)=\sqrt{-x^2+4}$

  • On a la fonction $x\mapsto -x^2+4$ est continue sur $[-2, \ 2]$ (car fonction polynôme)
  • $\forall x\in[-2,2]~;~-x^2+4\ge0$

  D’où la fonction $f$ est continue sur $[-2,2]$