Correction

1. Considérons la fonction f définie sur $[1,2]$ par : $f\left(x\right)=x+x^3$

   • La fonction $f$ est continue sur $\left[1,2\right]$ car fonction polynôme
   • $f\left(1\right)=2$ et $f\left(2\right)=10$ donc $3$ compris entre $f(1)$ et $f(2)$

   D’où d’aprés le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f\left(x\right)=3$ admet au moins une solution dans $[1,2]$

2. Considérons la fonction $f$ définie sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ par : $f\left(x\right)=cos(x)-x$

   • La fonction $f$ est continue sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$

   comme somme de deux fonctions continues ($x\mapsto cos(x)$ et $x\mapsto -x$)

   • $f(0)=cos(0)-0=1$ et $f(\frac\pi2)=cos(\frac\pi2)-\frac\pi2=-\frac\pi2$

   donc $f(0)\times f(\frac\pi2) <0$

   Donc l’équation $f(x)=0$ admet au moins une solution $\alpha\in \left]0,\frac{\pi}{2}\right[$

   • Pour l’unicité : montrons que $f$ est strictement monotone

   On a $\forall x\in \left]0,\frac{\pi}{2}\right[~~:~f'(x)=-sin(x)-1=-(sin(x)+1)$

   On sait que : $-1\le sin(x) \le 1$ donc $-(sin(x)+1)\le0$

   Donc $\forall x\in \left]0,\frac{\pi}{2}\right[~~:~f'(x)\le0$ et donc la fonction $f$ est croissante sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$

   D’où la solution est unique