تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Continuité d'une fonction numérique

Exercice 13

Soit ff la fonction définie sur R−{1}\R-\left\{1\right\} par :

f(x)=2x−1x−1f(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}

1. Calculer les limites :

lim⁡x→−∞f(x)\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) , lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) , lim⁡x→1x<1f(x)\lim\limits_{\underset{x<1}{x\to 1}} f(x) et lim⁡x→1x>1f(x)\lim\limits_{\underset{x>1}{x\to 1}} f(x)

2. étudier les variations de ff sur R−{1}\R-\{1\}

3. Calculer f([−1,0])f([-1,0]) et f(]1;2])f(]1;2]) . Justifie la réponse.

4. Soit gg la restriction de ff sur I=]−∞;1[I=]-\infty;1[ et (Cg)(C_g) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i→,j→)(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})

  • a. Montrer que gg admet une fonction réciproque g−1g^{-1} définie sur un intervalle JJ à déterminer.

    b. Déterminer les variations de g−1g^{-1}

    c. Déterminer g−1(x)g^{-1}(x) pour tout x∈Jx\in J

    d. Calculer g(12)g(\frac{1}{2}) et g(0)g(0) puis Construire (Cg)(C_g) et (Cg−1)(C_{g^{-1}})

Correction

1.
  • lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞2x−1x−1=lim⁡x→−∞2xx=2\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty} \frac{2x-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to-\infty} \frac{2x}{x}=2
  • lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞2x−1x−1=lim⁡x→+∞2xx=2\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{2x-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{2x}{x}=2
  • lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→1x<12x−1x−1=−∞\lim\limits_{\underset{x<1}{x\to 1}} f(x)=\lim\limits_{\underset{x<1}{x\to 1}} \frac{2x-1}{x-1}= -\infty
  • lim⁡x→1x>1f(x)=lim⁡x→1x>12x−1x−1=+∞\lim\limits_{\underset{x>1}{x\to 1}} f(x)=\lim\limits_{\underset{x>1}{x\to 1}} \frac{2x-1}{x-1}= +\infty
2.

On a pour tout x∈R−{1}x\in\R-\{1\} f′(x)=−1(x−1)2<0f'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}<0

donc ff est strictement décroissante sur R−{1}\R-\{1\}

3.

On a ff continue et décroissante sur R−{1}\R-\{1\}

Donc

  • f([−1,0])=[f(0);f(−1)]=[1;32]f([-1,0])=[f(0);f(-1)]=[1;\frac{3}{2}]
  • f(]1;2])=[f(2);lim⁡x→1x>1f(x)[=[32;2[f(]1;2])=[f(2);\lim\limits_{\underset{x>1}{x\to 1}} f(x)[=[\frac{3}{2};2[
4.a.

On a gg et continue et strictement décroissante sur II, alors elle admet une fonction réciproque g−1g^{-1} définie sur l’intervalle J=g(I)=f(]−∞;1[)=]−∞;2[J=g(I)=f\left(]-\infty;1[\right)=]-\infty;2[

4.b.

Les variations de g−1g^{-1}

gg est strictement décroissante sur II

Alors −1^-1 est strictement décroissante sur JJ

4.c.

Détermination de g−1(x)g^{-1}(x) pour tout x∈Jx\in J

{f(x)=yx∈J ; y∈I   ⟺  {x=f−1(y)x∈J ; y∈I \left\{ \begin{array}{ll} f(x)=y \\ x\in J ~;~ y\in I\ \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{ll} x=f^{-1}(y) \\ x\in J ~;~ y\in I\ \end{array} \right.

Soient x∈Jx\in J et y∈Iy\in I on a :

f(x)=y  ⟺  2x−1x−1=y  ⟺  xy−y=2x−1  ⟺  x(y−2)=y−1  ⟺  x=y−1y−2\begin{align*} f(x)=y &\iff \frac{2x-1}{x-1}=y \\ &\iff xy-y=2x-1 \\ &\iff x(y-2)=y-1 \\ &\iff x=\frac{y-1}{y-2} \\ \end{align*}

Alors, pour tout x∈Jx\in J on a :

g−1(x)=x−1x−2\boxed{g^{-1}(x)=\frac{x-1}{x-2}}
4.d.

g(12)=0 et g(0)=1g\left(\frac{1}{2}\right)=0 ~et ~g(0)=1

y = 2 y = 1 y = x x = 1 x = 2 ( C g ) ( C f )