تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Continuité d'une fonction numérique

Exercice 14

Soit ff la fonction numérique définie par :

f(x)=x−x2+3x−4f(x)=x-\sqrt{x^2+3x-4}

1. Vérifie que Df=]−∞;−4]∪[1;+∞[D_f=\left]-\infty;-4\right]\cup\left[1;+\infty\right[ l’ensemble de définition de la fonction ff

2. Montrer que lim⁡x→+∞f(x)=−32\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\frac{3}{2}

3. étudier les variations de ff sur DfD_f

4. Déterminer les images des intervalles suivants par la fonction ff : ]−∞;−4]]−\infty; -4] ; [−5;−4][-5; -4] ; ]1;2[]1; 2[ ; [1;+∞[[1; +\infty[

5. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires montrer que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution α\alpha dans DfD_f et que 1<α<21<\alpha < 2

4. Soit gg la restriction de ff sur I=[1,+∞[I=[1,+\infty[ et (Cg)(C_g) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i→,j→)(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})

  • a. Montrer que gg admet une fonction réciproque g−1g^{-1} définie sur un intervalle JJ à déterminer

    b. Montrer que g−1(x)=4+x23+2xg^{-1}(x)=\frac{4+x^2}{3+2x} pour tout x∈Jx\in J

    c. Déterminer g−1([−1,1])g^{-1}([-1,1])

Correction

1.
x∈Df  ⟺  x2+3x−4≥0x\in D_f \iff x^2+3x-4\ge0
Δ=b2−4ac=32−4×1×(−4)=25\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times1\times(-4)=25
x1=−b−Δ2a=−4 et x2=−b+Δ2a=1x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=-4 \text{ et } x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=1
x−∞−41+∞x2+3x−4+0−0+\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & &-4 & &1&& & +\infty \\\hline x^2+3x-4 & &+& 0 &-&0&&+& \\\hline \end{array}

Donc : Df=]−∞;−4]∪[1;+∞[D_f=]-\infty;-4]\cup[1;+\infty[

2.
lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x−x2+3x−4=lim⁡x→+∞x2−x2+3x−42x+x2+3x−4=lim⁡x→+∞−3x+4x+x2+3x−4=lim⁡x→+∞x(−3+4x)x(1+1+3x−4x2)=lim⁡x→+∞−3+4x1+1+3x−4x2=−32\begin{align*} \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) &= \lim\limits_{x \to +\infty} x-\sqrt{x^2+3x-4} \\ &=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-\sqrt{x^2+3x-4}^2}{x+\sqrt{x^2+3x-4}} \\ &=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-3x+4}{x+\sqrt{x^2+3x-4}} \\ &=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x\left(-3+\frac4x\right)}{x\left(1+\sqrt{1+\frac3x-\frac4{x^2}}\right)} \\ &=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-3+\frac4x}{1+\sqrt{1+\frac3x-\frac4{x^2}}} \\ &=-\frac{3}{2} \end{align*}

car lim⁡x→+∞1x=lim⁡x→+∞1x2=0\lim\limits_{x \to +\infty}\frac1x=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac1{x^2}=0

3.
f′(x)=1−(x2+3x−4)′2x2+3x−4=1−2x+32x2+3x−4=2x2+3x−4−2x−32x2+3x−4\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{(x^2+3x-4)'}{2\sqrt{x^2+3x-4}}\\ &=1-\dfrac{2x+3}{2\sqrt{x^2+3x-4}} \\ &=\dfrac{2\sqrt{x^2+3x-4}-2x-3}{2\sqrt{x^2+3x-4}} \end{align*}

  • ∙\bullet si x∈]−∞;−4]x\in]-\infty;-4] alors −2x−3>0-2x-3>0 donc f′(x)>0f'(x)>0

    et donc ff est strictement croissant sur ]−∞;−4]]-\infty;-4]

  • ∙\bullet Si x∈[1;+∞[x\in[1;+\infty[ on a :

    • (2x2+3x−4)2=4x2+12x−16(2\sqrt{x^2+3x-4})^2=4x^2+12x-16
    • (2x+3)2=4x2+12x+9(2x+3)^2=4x^2+12x+9

    Donc

    (2x2+3x−4)2−(2x+3)2=−25\begin{align*} (2\sqrt{x^2+3x-4})^2-(2x+3)^2=-25 \end{align*}

    donc :

    2x2+3x−4−2x−3<02\sqrt{x^2+3x-4}-2x-3<0

    donc f′(x)<0f'(x)<0

    et donc ff est strictement décroissante sur [1;+∞[[1;+\infty[

4.

  • ∙\bullet image de ]−∞;−4]]−\infty; -4] :

    on a : ff est continue et strictement croissante sur ]−∞;−4]]−\infty; -4]

    Alors :

    f(]−∞;−4])=]lim⁡x→−∞f(x);f(−4)]=]−∞;−4]\begin{align*} f(]−\infty; -4]) &=]\lim\limits_{x \to -\infty} f(x); f(-4)] \\ &=]-\infty;-4] \end{align*}

  • ∙\bullet image de [−5;−4][-5; -4] :

    on a : ff est continue et strictement croissante sur [−5;−4][−5; -4]

    Alors :

    f([−5;−4])=[f(−5);f(−4)]=[−5−6;−4]\begin{align*} f([−5; -4])&=[f(-5); f(-4)]\\ &=[-5-\sqrt6;-4] \end{align*}

  • ∙\bullet image de ]1;2[]1; 2[ :

    on a : ff est continue et strictement décroissante sur ]1;2[]1; 2[

    Alors :

    f(]1;2[)=]lim⁡x→2−f(x);lim⁡x→1+f(x)[=]2−6;1]\begin{align*} f(]1; 2[)&=] \lim\limits_{x \to 2^-} f(x) ; \lim\limits_{x \to 1^+} f(x)[\\ &=]2-\sqrt6;1] \end{align*}

  • ∙\bullet image de [1;+∞[[1; +\infty[ :

    on a : ff est continue et strictement décroissante sur [1;+∞[[1; +\infty[

    Alors :

    f([1;+∞[)=]lim⁡x→+∞f(x);f(1)]=]−∞;1]\begin{align*} f([1; +\infty[)&=]\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) ; f(1)]\\ &=]-\infty;1] \end{align*}
5.

on a ff est continue sur Df=]−∞;−4]∪[1;+∞[D_f=]-\infty;-4]\cup[1;+\infty[ comme somme et composé de fonctions continué x↦xx\mapsto x ; x↦x2+3x−4x\mapsto x^2+3x-4 et x↦xx\mapsto \sqrt x

  • ∙\bullet Sur l’intervalle ]−∞;−4]]-\infty;-4]

    on a : f(]−∞;−4])=]−∞;−4]f(]-\infty;-4])=]-\infty;-4]

    et comme 0∉]−∞;−4]0\notin]-\infty;-4], alors l’équation f(x)=0f(x)=0 n’a pas de solution dans ]−∞;−4]]-\infty;-4]

  • ∙\bullet Sur l’intervalle [1;+∞[[1;+\infty[

    on a : f([1;+∞[)=]−∞;1]f([1;+\infty[)=]-\infty;1]

    et comme 0∈]−∞;1]0\in]-\infty;1], alors l’équation f(x)=0f(x)=0 admet au moins une solution dans [1;+∞[[1;+\infty[

    et de plus ff est strictement décroissante sur [1;+∞[[1;+\infty[

    alors l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une seule solution dans [1;+∞[[1;+\infty[

  • Conclusion : l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une seule solution dans DfD_f

6.a.

on a gg est continue et strictement décroissante sur II

alors, gg admet une fonction réciproque g−1g^{-1} définie sur J=g(I)J=g(I)

J=g(I)=f([1;+∞[)=]−∞;1]J=g(I)=f([1;+\infty[)=]-\infty;1]
6.b.

Soit x∈Jx\in J on pose g−1(x)=yg^{-1}(x)=y

donc y∈Iy\in I

g−1(x)=y  ⟺  x=g(y)  ⟺  x=y−y2+3y−4  ⟺  y2+3y−4=y−x  ⟹  y2+3y−42=(y−x)2  ⟹  y2+3y−4=y2−2xy+x2  ⟹  3y+2xy=x2+4  ⟹  y(3+2x)=x2+4  ⟹  y=x2+43+2x\begin{align*} g^{-1}(x)=y &\iff x=g(y) \\ & \iff x=y-\sqrt{y^2+3y-4} \\ & \iff \sqrt{y^2+3y-4}=y-x \\ & \implies \sqrt{y^2+3y-4}^2=(y-x)^2 \\ & \implies y^2+3y-4=y^2-2xy+x^2 \\ & \implies 3y+2xy=x^2+4 \\ & \implies y(3+2x)=x^2+4 \\ & \implies y=\frac{x^2+4}{3+2x} \end{align*}

Alors pour tout x∈Jx\in J : g−1=x2+43+2xg^{-1}=\dfrac{x^2+4}{3+2x}

6.c.

On a : gg est strictement décroissante sur II

Alors g−1g^{-1} est aussi strictement décroissante sur JJ

on a g−1g^{-1} est continue sur [−1;1][-1;1] donc :

g−1([−1;1])=[g−1(1);g−1(−1)]=[1;5]g^{-1}([-1;1])=[g^{-1}(1);g^{-1}(-1)]=[1;5]